用复数来表示正余弦函数表达式-数据分析方法梅长林

三、复数是数学分析中的一个工具

为什么要使用复数呢？其实它只是个工具而已，就如钉子和锤子的关系，复数就象那锤子，作为一种使用的工具。我们把要解决的问题表达成复数的形式（因为有些问题用复数的形式进行运算更加方便），然后对复数进行运算，最后再转换回来得到我们所需要的结果。

有两种方法使用复数，一种是用复数进行简单的替换，如前面所说的向量表达式方法和前一节中我们所讨论的实域DFT，另一种是更高级的方法：数学等价 (mathematical equivalence)，复数形式的傅立叶变换用的便是数学等价的方法，但在这里我们先不讨论这种方法，这里我们先来看一下用复数进行替换中的问题。

用复数进行替换的基本思想是：把所要分析的物理问题转换成复数的形式，其中只是简单地添加一个复数的符号j，当返回到原来的物理问题时，则只是把符号j去掉就可以了。有一点要明白的是并不是所有问题都可以用复数来表示，必须看用复数进行分析是否适用，有个例子可以看出用复数来替换原来问题的表达方式明显是谬误的：假设一箱的苹果是5美元，一箱的桔子是10美元，于是我们把它表示成5 + 10j，有一个星期你买了6箱苹果和2箱桔子，我们又把它表示成6 + 2j，最后计算总共花的钱是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j，结果是买苹果花了10美元的，买桔子花了70美元，这样的结果明显是错了，所以复数的形式不适合运用于对这种问题的解决。

四、用复数来表示正余弦函数表达式

对于象M cos (ωt + φ)和A cos(ωt ) + B sin(ωt )表达式，用复数来表示，可以变得非常简洁，对于直角坐标形式可以按如下形式进行转换：