逆向傅立叶变换-数据分析方法梅长林

假设我们已经得到了复数形式的频谱X[k]，现在要把它还原到复数形式的原始信号x[n]，当然应该是把X[k]乘以一个复数，然后再进行求和，最后得到原始信号x[n]。这个跟X[k]相乘的复数首先让我们想到的应该是上面进行相关性计算的复数：cos(2πkn/N) – j sin(2πkn/N)，但其中的负号其实是为了使得进行逆向傅立叶变换时把正弦函数变为正的符号。因为虚数j的运算特殊性，使得原来应该是正的正弦函数变为了负的正弦函数（我们从后面的推导会看到这一点），所以这里的负号只是为了纠正符号的作用。

在进行逆向DFT时，我们可以把负号去掉，于是我们便得到了这样的逆向DFT变换等式：

x[n] = X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

我们现在来分析这个式子，会发现这个式其实跟实数傅立叶变换是可以得到一样结果的。我们先把X[k]变换一下：

X[k] = Re X[k] + j Im X[k]

这样我们就可以对x[n]再次进行变换，如：

x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) = ( Re X[k] cos(2πkn/N) + j Im X[k] cos(2πkn/N) + j Re X[k] sin(2πkn/N) - Im X[k] sin(2πkn/N) ) = ( Re X[k] （ cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N) ） + ---(1) Im X[k] （ - sin(2πkn/N) + j cos(2πkn/N))） ---(2)

这时我们就把原来的等式分成了两个部分，第一个部分是跟实域中的频谱相乘，第二个部分是跟虚域中的频谱相乘。根据频谱图我们可以知道，Re X[k]是个偶对称的变量，Im X[k]是个奇对称的变量，即

Re X[k] = Re X[- k]

Im X[k] = - Im X[-k]

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