有限测度-aducm360硬件工程师开发手册，纯中文版

4.2有限测度这一节似乎已经超出了本章关于求维数的范围，然而定理4.10是4.3节引出的重要的位势理论方法所需要的。具有无穷测度的集合是难于处理的，如果能将它们削减成正有限测度集，应当是非常有用的简化。定理4.10保证了任何满足于íS(F) = ∞的(博雷尔)集F包含一个子集E满足。<对8(E) < ∞(即E是s集)。乍看起来，这似乎是显然的，只要削减F一直到留下的部分具有正的有限测度遗憾的是，事情并不是那么简单，测度可能从无限测度跳到零测度而不经过任何中间值用数学语言来叙述它，即可能有递减的集序列E 1 ::l E2 ::l…，对所有的k满足对8(Ek) = ∞，但却有衍8( n Ek) = O(举一个简单的例子，例如取Ek = [O , l/k] c R且0<8 < 1，就是这样的情形)。为了证明这个定理，要更精细地考察豪斯多夫测度的构造。

读者主要关心的是定理的应用，而不是证明。定理4.10设F是满足0< Jí8(F)运∞的Rn的博雷尔子集，贝'1存在紧集EcF使0< Jí8(E) < ∞。*证明梗概完整的证明是非常复杂的，这里只对0<8<1和F是[0 ， 1] C R上的紧子集的情形说明证明的思想利用式(2.17) ，，-， (2.18)定义的网测度MS来证明，网测度是利用豆二进制区间[r2- k , (r + 1 )2-k )定义的，并由式(2.19)与豪斯多夫测度联系起来。用归纳法定义一个F的递减的紧子集序列Eo ::l E1 ::l E2 ::l…，设Eo = F ,对k ~ 0，利用确定与每个长度为2斗的二进区间的交的方法来定义Ek+l'如果M;(叩)(Ekn I) ~ 2-sk ，就令Ek+1 nI = Ek nI，由于在计算M;-k中，利用I本身作为一个覆盖区间给出的估计，至少与用较短的二进区间时的估计一样大，因此有M;-(k+ 1) (Ek+lnI) = M;-k (EknI) (4.9)另一方面?如果M;(一→(叩M;(k+叫1川Eιk+钊lnI月) = 2-8k的紧子集。这样的子集存在是因为M;-(k+l) (Ek n I n [0 , u])是有限的，并对μ连续(这就是为什么利用M~而不是M8进行证明的原因)，因为M~-k (Ek n I) = 2-8k ，式(4.9)仍然成立。把式(4.9)对全部长度为2-k的二进制区间求和，可以得到M;(叫) (Ek+d = M~-k(Ek)。 (4.10)反复应用式(4.10)可以得到对所有的k， M;一k (Ek) = MHEo)。设E是紧集n Ek ,令k →∞，取极限，即有M8(E) = MHEo)(这一步的论证当然需要较复杂的数学知识)。

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