非线性康托尔集-aducm360硬件工程师开发手册，纯中文版

例9.8 非线性康托尔集口设D = lj(1 + 哟，(1 + vI3) L又设81，乌分咐由Sdx) = 1 + 怡和S2 (x) = 2 + 1/x给出的D → D的映射，则0.44 < dimH F 运出旦BF :::;; dimBF < 0.66，其中F是{品，S2}的吸引子。（这个例子的出现与数论有关=见10.2节）

计算注意到乌川(ω叶D所以可以利用命题9.6和命题9.7去估计dimHF。由中值定理(见1.2节)，如果x，y巳D，且Z手ν则有某个Zi εD，使(Si (x) - Si (ν))/(x-y) = S~(zi)，i = 1, 2，于是对4=1，2品(x) - S;(y) - nfls;(z)|运运supIS~(x)l。zεb'-'-'~ Ix-yl ~ xεD因为S~ (x) = _1/x2，由此对i=1和i=2有~ (2 - VI3) = (1 + VI3)飞|品(:1(U)| 《 (;(1+d))-2=2(2-d)。根据命题9.6和命题9.7，维数的下界和上界估计分别可以由方程2{j(2-d)18= 1和2(2(2- J3))8=1给出，解得s的值分别是ln2/叫+v'3而) = 0.3叫ln2峭2勾仙/ 1 (归2+ VI3而) = 1.11对实直线的子集，维数的上界估计大于1是没有意义的。

为了得到较好的估计，可以用下面的方法，注意到F同时也是归，1]上的如下4个映射的吸引子马O乌= i + 1/(j + 1/x) = i + x/(jx + 1) (i, j = 1,2)。同样按照上面的微分计算和中值定理，可以得到(乌o Sj)'但) = (jx + 1)-2所以ω+ v'3) + 1内- yl :::;; I乌oSj忡Ix - yl。

如果你想深入了解中值定理，可以参考《高等数学中值定理.ppt》下载链接，或者《高等数学泰勒中值定理ppt》下载链接。至于非线性方程的数值解法，《非线性方程的数值解法》下载链接也许是个不错的选择。

维数的下界和上界估计分别可以由方程2 (2 + v'3)飞2 ( 3 + 2v'3) -28 = 1和2(i(3+d)Y28+2(2+dy2s=1决定，用数值解法得出0.44 < dimH F <0.邸，这是对先前估计的一个相当可观的改进。实际上，dimH F=0.531，这个值可以通过对更高阶的品的迭代进行考察得到。

是不是很有趣？数学的世界真是无穷无尽的奥秘！