金融中的分形-aducm360硬件工程师开发手册，纯中文版

通过观察股票价格、汇率等的图像，可以发现存在某些种类的自仿射现象。对于某个数0<α<1，如果X(t)是t时刻的股价，则对于t>to，γ>0，增量X(-yt)-X(-yto)和增量俨(X(t)-X(to))总体相似，这显示了一个统计自仿射过程，或者甚至是一个确定性自仿射函数。这种现象可能适合用来建立价格模型。

自仿射假设有很多关于模型过程特点的推论。由于在随机过程中的重要地位，布朗运动（参见16.1节）是用来试验的最自然的统计自仿射模型。加上它的一些变化，布朗运动已经成为许多金融模型的基础。令X是[0, ∞)上的布朗运动，可以把X(t)看成某个股票在时间t的价格，或价格的对数。

布朗运动的一个重要特点就是它的无棋性或独立增量性。给定至t时刻的一个过程，对任意h>0，X(t+h))的期望值就是X(t)，这表示股票的未来价格是不可预测的，即现在的盈利很可能变成以后的损失。

假设X是指数为α的分数布朗运动（见16.2节），此时增量不是独立的，而是相关的，即，E((X(t)-X(O))(X(t+h)-X(t)))>0或<0，这取决于α>1/2或α<1/2。如果α>1/2，则过程具有长程相关性(long range dependence)，也就是说，对于固定的小的h，增量的协方差町随着t的增大而慢慢减小，在这个意义上，以下和式是发散的：

[E(((X(h)-X(O)) (X(k+h)-X(k))) \approx \sum_{k=0}^{\infty} ...]

一种可能的解释是，对于某个α>1/2，指数为α的分数布朗运动提供了一个合理的价格模型，因此可以通过研究过去的股价变动推导出将来的股价走势。

可能有一些进一步的变化，比如，考察cX(t)+αt，其中X是指数为α的分数布朗运动，α和C是正的常数，同时给过程加上一个具有基本向上走向的速率α的“漂移”。给定一段时间t范围内的金融数据，则可以用统计的方法估计出α，α和C的适当的值。

乍一看，布朗运动表现出的性质似乎相似于股价或汇率的走势，但是仔细观察后会发现显著的区别。布朗运动没有在股价观察中出现的突然跳跃和强烈的周期活动性，或者说是“易变性”。这可以通过考虑增量来说明：对固定的较小的h>0，如果X是布朗运动，则增量X(t+h)-X(t)作为t的函数，呈现一种完全不同的特性。