ADuCM360硬件工程师开发手册（纯中文版）

12.1对偶和挂谷问对偶方法把平面上的点集转换成直线上的集合，并且可以用来在原有分形的基础上创建新的分形。这种手段可以用来构造具有特殊性质的集合；在平面上构造一个包含每个方向上的直线且面积为零的集合。对于R2上的任何点(α，b)，可用L(α，b)表示直线y=α+bx上的点所组成的集合。如果F是R2上的任何子集，定义直线集L(F)是F上任意点所对应的直线的并集，即L(F) = U{L(α，b) : (α，b)εF}，记Lc为垂直线x=c，则有L(α，b)nLc = (c，α+bc) = (c，(α，b).(1，c))，这里·是R2上的通常内积；于是对于R2的一个子集F，L(F)nLc = {(c，(α，b).(1，c)): (α，b)εF}。取与向量(1，c)的内积，可以从几何上解释为到一条方向为(1，c)的直线上的射影，并且以(1+~)1/2为比例因子伸缩变化。于是集L(F)nLc是与projF几何相似的，proj表示到通过原点且与Z轴夹角为0的直线上的垂直投影，这里c=tanO，特别有dimH(L(F)nLc)=dimH(projF)而且C(L(F)nLc)=0当且仅当C(projF)=0，其中ι是一维勒贝格测度，即长度。按这种方法，对偶把F的投影（对此已有第6章的理论）同直线集L(F)与垂直线的交集联系起来。到U轴的投影也有一种解释，直线L(α，b)的斜率恰好是b=proj/2(α，的，所以，对于任何F，在直线集L(F)中的直线的斜率所构成的集合是由proj/2F给出的。

对于想深入了解分形几何的读者，建议阅读《分形艺术分形几何的艺术》链接和《分形几何分形树源代码》链接。这两本书不仅详细讲解了分形几何的理论基础，还提供了丰富的实例和代码。

《花瓶的分形几何》链接展示了分形几何在艺术创作中的应用，让人叹为观止。如果你对分形图的几何造型感兴趣，不妨看看《几何造型－分形图》链接。

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