ADuCM360硬件工程师开发手册（纯中文版）

丢番图逼近对给定的一个无理数民用不大于qo的q作分母的有理数p/q来逼近Z可以接近到什么程度呢？丢番图逼近正是研究这类问题的，它的实际应用可以在很多场景中看到（见13.6节）。经典的Dirichlet定理（见练习10.8）指出，对于任何实数x，有无限多的正整数q使得x - P/q I q约等于某个整数p；这样的p/q是对Z的最佳近似之一。具体来说，|qx - p| ≤ q^(-1)对无穷多个q成立，这里||y||表示y到最近整数的距离。存在适用于几乎所有数Z的Dirichlet定理的变化形式。可以证明，如果ψ(q)是q的不增函数，并且ψ(q)趋于0，那么根据∑ψ(q)的发散或收敛情况，分别对应对几乎所有x，或者几乎没有x（在1维勒贝格测度的意义下），使得无限多个q满足||qx|| ≤ ψ(q)的条件。在后一种情况下，使式(10.3)有无穷多个解的Z的集合不仅勒贝格测度为零，而且经常呈现出分形结构。

那么，什么是α很好可逼近的数呢？把满足||qx|| ≤ q^(-α)（式10.4）对无穷多个正整数q成立的数Z称为α很好可逼近的数。自然会有人问，α>2时，这个集合有多大？这样的无理数是否真的存在？下面将要证明的是Jarník定理，即α很好可逼近的数集的豪斯多夫维数是2/α。几乎立即可以由例4.7得出，α很好可逼近的数集的维数至少是1/α，更精确的要求是得到2/α的值。

具体的推理如下，设Gq是满足式(10.4)的[0, 1]中的Z的集；一个因子分解的论证可以证明，如果n是一个较大的整数，而且pq是素数且n < p1, p2 ~ pq，那么Gp1和Gp2是不相交的（除去非常接近0或1的点外）。粗略地说，集合nr G数h J素C L是守一日由Ln < p ≤ 2n 1/p组成，包含至少为2(2n)^(-1)的区间。由此，如果nk是增加得很快的序列，那么交集n Hnk的维数至少是2/α。注意到属于这个交集的任何数都属于无穷多个Gp，所以是α很好可逼近的。

如果你对更多详细的证明和推理感兴趣，可以参考以下链接：丢番图逼近和Faltings定理，数论丢番图逼近引论，丢番图方程引论。这些资源将为你提供更加深入的理解和全面的知识背景。