ADuCM360硬件工程师开发手册（纯中文版）

18.2 引力势的奇异性在 R3 中由一个电荷分布 μ 引起的静电势和由一个质量分布 μ 引起的引力势，由下式给出：

[ \phi(x) = \int \frac{d\mu(y)}{|x - y|} ]

可以证明势的奇异集（即满足 (\phi(x) = \infty) 的 Z 的集合）的维数，不能太大。如果 μ 是 R3 中具有有界支撑的质量分布，假设式 (18.8) 中的势有奇异集 F = {x : (\phi(x) = \infty)}，并且 (\dim_H F \leq 1)。设 (s > 1)，并设 (x \in R3)，对于 (r > 0)，记 (m(r) = μ(B(x，r)))。假设存在 (α > 0)，(c > 0)，使得对所有的 (0 \leq r \leq α)，有 (m(r) \leq cr^s)。经过分步积分后，我们得到：

[ \phi(x) = \int_{|x-y| \leq α} \frac{d\mu(y)}{|x - y|} + \int_{|x-y| > α} \frac{d\mu(y)}{|x - y|} \leq α^{-1} μ(R3) + c (1 + (s - 1)^{-1}) α^{s-1} + α^{-1} μ(R3) < ∞ ]

因此，如果 (x \in F)，则对于任意 (c > 0)，一定有 (\lim (μ(B(x，r)) / r^s) \geq c)。由此得出，对于 (s > 1)，我们有 ( \mathcal{H}^s(F) = 0)，命题得证。

μ 通常可以用密度函数 (f) 来表示，所以对于任何博雷尔集 (A)，

[ μ(A) = \int_A f(x) dx ]

此时式 (18.8) 变成

[ \phi(x) = \int \frac{f(y)}{|x - y|} dy ]

在 (f) 上给定某些条件，存在 (p > 1)，使 (\int |f(x)|^p dx < ∞)，则可以用类似的方法找出奇异集维数的进一步界，参见练习 18.5。

很容易证明，如果 (f) 是充分光滑的函数，那么式 (18.9) 就是泊松方程 (\Delta \phi = -4πf)。

如果您对引力波解曲率奇异性和时空奇异性感兴趣，可以参考这篇文章 《1加5维引力波解曲率奇异性和时空奇异性》。避免量子引力的奇异性问题，也有详细讨论，参见《避免量子引力的奇异性》。

进一步的讨论和应用可以在以下文献中找到：《搜寻质量维数1旋子场》、《希格斯势的引力校正》、《利用黑洞熵证明弱引力猜想》。这些资源将帮助您更全面地理解引力势的奇异性问题及其在不同情景下的应用。