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10.1 分形天线

分形几何学、混沌（chaos）和孤子（soliton）是非线性科学中三个最重要的概念。分形几何学是由Mandelbrot为解决电话噪声问题而创立的非欧几里德几何学。1973年他在法兰西学院讲课时首次提出了分维和分形几何学的设想。分形几何学是一门研究非规则几何形态的学科，如今，它已经发展成为一门跨学科领域，从振动力学到流体力学、天文学和计算机科学；从分子生物学到生理学、生物形态学；从材料科学到地球科学、地理科学；从经济学到语言学、社会学等，分形理论已经渗透到工程和科学的各个领域。

分形理论对方法论和自然观产生了深远影响。从分形的角度看，这个世界是以分形的方式存在和演化的。分形和分维数在欧氏空间中，人们习惯于整数维数，但分形理论将维数视为分数。分维是物理学家在研究混沌吸引子理论时引入的概念，它突破了一般拓扑集维数为整数的界限，描述了分形的空间填充特性。确定分形几何形体的分维数是一件复杂的工作，并不像欧几里德几何学那样直观。Koch曲线是一条“无限长”直线弯折而成，用小直线段度量其结果是无限大；用平面度量则结果是零。只有找到与Koch曲线维数同量级的尺度去度量它，才会得到有限的维数，这个数显然大于1而小于2，因此只能是分数。

对于具有自相似特性的分形图形，其分维数D是方程(10.1)的解：

[1 = \left(\frac{1}{n_k}\right)^D + \left(\frac{1}{n_h}\right)^D + \ldots + \left(\frac{1}{n}\right)^D \quad (10.1)]

n_k是初始曲线的拷贝数，n_h是缩放比例，n是缩比尺度数目。