数据分析方法梅长林

第四章、复数形式离散傅立叶变换

复数形式的离散傅立叶变换非常巧妙地运用了复数的方法，使得傅立叶变换更加自然和简洁。它并不是简单地运用替换的方法来运用复数，而是完全从复数的角度来分析问题，这一点跟实数DFT是完全不一样的。

一、把正余弦函数表示成复数的形式

通过欧拉等式可以把正余弦函数表示成复数的形式：

[ \cos(x) = \frac{1}{2} e^{j(-x)} + \frac{1}{2} e^{jx} ]

[ \sin(x) = j \left(\frac{1}{2} e^{j(-x)} - \frac{1}{2} e^{jx}\right) ]

从这个等式可以看出，如果把正余弦函数表示成复数后，它们变成了由正负频率组成的正余弦波。相反地，一个由正负频率组成的正余弦波，可以通过复数的形式来表示。

我们知道，在实数傅立叶变换中，它的频谱是 (0 \sim \pi) ((0 \sim N/2))，但无法表示 (-\pi \sim 0) 的频谱。可以预见，如果把正余弦表示成复数形式，则能够把负频率包含进来。

为了更好地理解复数傅立叶变换，建议参考《图像傅立叶变换离散余弦变换沃尔什变换》和《傅立叶变换PPT连续时间傅立叶变换傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶变换的性质傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数》。这些资源提供了丰富的理论和实际例子，有助于进一步深入学习。

对于数值滤波及其在傅立叶变换中的应用，可以参考《数值滤波_正余弦变换_汉克尔变换》。这些资料通过具体的实例展示了如何在实际应用中运用这些理论知识。

是不是有种恍然大悟的感觉呢？复数傅立叶变换的魅力正在于此，让我们继续探索吧！