leetcode卡 arrangecoins 排列币

【排列币问题】是LeetCode平台上的一道经典算法题，主要考察的是动态规划和贪心策略的运用。问题的核心在于如何有效地安排硬币使得它们排列成一个完整的阶梯形状，每行放置的硬币数量递减。题目给出一个整数n，代表你有n枚硬币，目标是找到最小的层数，使得所有硬币都能排列起来。 **问题描述**给定一个非负整数`n`，你可以将这些硬币排成一个阶梯形状，其中第一层可以放1枚硬币，第二层最多可以放2枚，以此类推。每层都可以放任意数量的硬币，但上一层的硬币总数必须小于等于下一层。你需要找到使所有硬币都排列起来的最小层数。 **算法思路** 1. **贪心策略**：首先尝试尽可能地在每一层放最多的硬币，即每一层都放`i`枚硬币，直到硬币不足。然而，这种策略并不总是最优的，例如当`n = 3`时，贪心策略会得到3层（1, 1），而实际只需要2层（2, 1）。 2. **动态规划**：设`dp[i]`表示有`i`枚硬币时需要的最小层数。状态转移方程可以这样设置：`dp[i] = min(dp[j]) + (i - j) / (j + 1)`，其中`j`遍历从1到`i-1`的整数，选择使得`i - j`能被`(j + 1)`整除的`j`，因为这样可以在`dp[j]`层的基础上再增加一层。基础情况是`dp[0] = dp[1] = 1`。 3. **优化**：实际上，动态规划的状态转移方程可以简化，因为我们不需要尝试所有可能的`j`值。我们可以直接计算`k`，使得`k * (k+1)`尽可能接近但不大于`i`，这样`dp[i] = k`。因为对于每个`i`，`i`的最优解`k`总是满足`k(k+1) <= i < (k+1)(k+2)`。 **代码实现**在`arrangecoins-master`这个压缩包中，可能包含了多种编程语言（如Python、Java、C++等）的解题代码。代码通常会包含一个函数，如Python中的`arrangeCoins`，接收一个整数`n`作为参数，并返回最小的层数。 ```python def arrangeCoins(n): k = int((-1 + sqrt(1 + 8 * n)) / 2) return k ```这里使用了数学公式来简化动态规划的求解过程，计算出`k`值，然后返回`k`作为结果。 **复杂度分析** -时间复杂度：`O(1)`，因为我们只需要计算一次`k`。 -空间复杂度：`O(1)`，我们只使用了常数级别的辅助空间。这道题是算法学习中的经典题目，不仅锻炼了对动态规划的理解，也提供了使用贪心和数学优化解题的思路。通过解这道题，开发者可以提升自己的算法思维和编程能力，对于面试和日常开发工作都有很大帮助。