正交向量与正交子空间

若两个向量 xxx,yyy 垂直,则有 xTy=0x^Ty = 0xTy=0。 证明:根据毕达哥拉斯定理有 ∣x∣2+∣y∣2=∣x+y∣2|x|^2 + |y|^2 = |x+y|^2∣x∣2+∣y∣2=∣x+y∣2 又 ∣x∣2=xTx|x|^2 = x^Tx∣x∣2=xTx,∣y∣2=yTy|y|^2=y^Ty∣y∣2=yTy,∣x+y∣2=(x+y)T(x+y)|x+y|^2 = (x+y)^T(x+y)∣x+y∣2=(x+y)T(x+y) 所以: xTx+yTy=(x+y)T(x+y)=(xT+yT)(x+y)=xTx+xTy+yTx+yTyx^Tx+y^Ty=(x+y)^T(x+y