Introduction to Matroid Theory_ZheyingYu_Dec.2018

拟阵理论是数学的一个重要分支，它在抽象代数、组合数学、几何学和拓扑学等多个领域中都有重要的应用。本笔记将介绍拟阵理论的基本概念和性质，并以抽象单形复形、独立集、电路和秩函数等概念为中心，详细阐述拟阵理论的核心内容。 拟阵理论的概念最早由Whitney于1935年提出，它不仅适用于向量空间，还推广到了图论、组合设计、网络流以及线性方程组等领域。随着拟阵理论的发展，出现了更多种类的独立性概念，比如算术拟阵、估值拟阵、定向拟阵和复数拟阵等。此外，还可以进一步推广到超环上的拟阵、热带几何和环上的拟阵等更一般的概念。 在介绍拟阵之前，我们先回顾一下向量空间的定义。在实数域R或复数域C上的向量空间是一个非空集合V，其中定义了加法和数乘两种运算，并满足以下性质：闭合性、加法交换性、加法结合性、存在加法单位元、存在加法逆元、数乘闭合性、数乘与1的关系、数乘结合性以及分配律。这些性质构成了向量空间的公理化定义，并为拟阵理论提供了基本的数学框架。 在图论中，图是由顶点集合V和边集合E组成的有序对G:=(V,E)。边是顶点的2-元素子集，与两个顶点相关联，这种关联形式为顶点的无序对。在拟阵理论中，图的结构将帮助我们理解独立集和闭包的概念。 接下来，我们定义了抽象单形复形的概念。抽象单形复形是一种拓扑空间的组合描述，它由一组简单形体（点、线、面等）构成，这些形体之间相互关联，共同构成一个复杂的拓扑结构。单形复形的理论是理解和构建拟阵的基础。 独立集是拟阵理论中的一个核心概念。在拟阵M中，独立集是复形中的一个子集，它不包含任何闭包系统中的循环。简单来说，如果将独立集中的元素看作是向量空间中的一组基，则这些元素必须线性独立。 电路是拟阵理论中另一个重要的概念。电路是拟阵中的最小循环，这意味着任何一个包含电路的更大子集都将不再是一个独立集。电路在拟阵中的角色类似于线性独立向量组中的线性依赖关系。 秩函数是拟阵理论中的第三个核心概念。秩函数是一个从拟阵的幂集到自然数的函数，它表达了拟阵中子集的最大独立子集的大小。秩函数满足一系列的性质，例如对于任意的子集X和Y，如果X是Y的子集，则rank(X)小于等于rank(Y)。 在这份笔记中，我们还证明了由抽象单形复形、独立集、电路和秩函数这四个因子定义的拟阵的性质是等价的。这表明我们可以通过这四个不同的角度来全面地理解拟阵理论，从而在解决组合优化问题时提供更多的思考角度和解决手段。 拟阵理论的研究内容广泛，与许多数学分支都有联系。例如，在几何学中，拟阵可以用来研究多面体的性质，在拓扑学中，它可以帮助我们更好地理解空间的结构。此外，拟阵理论还在编码理论、优化理论和算法设计等领域有着重要的应用。 拟阵理论为我们提供了一种强有力的工具，可以将看似不同的数学对象和问题统一在同一个框架下进行研究，这在数学和其他科学领域中都是非常有价值的。通过深入学习和掌握拟阵理论，我们可以更好地解决各种组合问题，并在多个学科领域中找到其应用价值。