第1章概率习题课.pdf

###概率论基础知识####事件间的关系与运算法则- **事件的包含**：表示一个事件A是否为另一个事件B的子集，记作A⊆B。 - **事件的和**：指的是两个事件至少有一个发生的事件，记作A∪B。 - **事件的积**：两个事件同时发生的事件，记作AB。 - **差事件**：事件A发生而事件B不发生的事件，表示为A-B或AAB。 - **互斥事件**：两个事件不能同时发生，即AB=∅。 - **互逆事件**：一个事件发生则另一个事件必不发生，且两者之和为全集S，即AB=∅且A∪B=S。 **事件的运算法则**包括： - **交换律**：事件的和与积都是可交换的，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。 - **结合律**：事件的和与积在结合时不受括号影响，即A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。 - **分配律**：事件的和与积在分配时遵循特定规则，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。 - **德摩根律**：对于多个事件，其逆事件的和等于逆事件的积的补集，即(A1∪A2∪...∪An) = A1∩A2∩...∩An。对于**必然事件**和**不可能事件**的运算法则分别是： -必然事件S与任何事件A的和为S，积为A。 -不可能事件Φ与任何事件A的和为A，积为Φ。 ####事件的概率- **概率的定义**：事件A的概率表示为P(A)，满足三个基本条件：非负性P(A)≥0，规范性P(S)=1，可列可加性P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。 - **概率的性质**包括： - P(∅)=0，空集的概率为0。 -若A1，A2，...，An两两互斥，则P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。 -若A⊆B，则P(B-A)=P(B)-P(A)。 -任何事件A的概率P(A)≤1。 - P(A)=1-P(A)，事件A不发生的概率是1减去A发生的概率。 -加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，适用于两个事件。 ####等可能概型- **定义**：如果试验E的样本空间S中的元素有限，并且每个基本事件发生的可能性相同，则称这种试验为等可能概型或古典概型。 - **概率的计算公式**：若事件A包含k个基本事件，样本空间S包含n个基本事件，则P(A)=k/n。 ####条件概率与独立性- **条件概率**：已知事件B发生条件下，事件A发生的概率表示为P(A|B)=P(AB)/P(B)，要求P(B)>0。 - **乘法公式**、**全概率公式**和**贝叶斯公式**是条件概率的重要应用，涉及多个事件的联合概率、边缘概率和逆概率的计算。 - **独立性**：若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A和B相互独立。推广到多个事件，若对于任意组合事件AiAj都满足P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，则称这些事件相互独立。 ####典型习题解析- **事件表达**：在实际问题中，经常需要使用事件的语言来描述问题，如仅第一次取到合格产品的事件可以表示为A1A2A3。 - **概率公式的应用**：对于涉及事件关系和概率计算的题目，需要准确地运用定义和性质，如事件差的概率P(A-B)=P(A)-P(AB)。 - **条件概率与独立性的判断**：通过概率的运算规则，可以判断事件之间的关系，例如互斥事件、独立事件的判定，以及条件概率的计算。在具体问题的分析中，事件的关系和概率的计算会更加细致和复杂，但其核心概念和原理依然遵循上述知识点。通过熟练掌握这些基础知识点，可以更好地分析和解决概率论与数理统计问题。