部分分式展开的MATLAB实现

一、部分分式展开的MATLAB实现

在信号与系统中，将一个复杂的分式表达式分解成多个简单的分式形式（即部分分式）是一个常见的技巧。这种分解有助于简化系统的分析过程，尤其是在控制系统和滤波器设计中非常有用。

在MATLAB中，可以使用residue(num,den)函数来实现这一功能。其中，num和den分别是目标分式的分子多项式和分母多项式的系数向量。该函数的输出包括三个部分：

1. r：表示各部分分式的系数；
2. p：表示各个极点（即分子的根）；
3. k：表示余项的系数，如果原表达式为真分式，则这部分会返回0。

下面是一个简单的例子，展示如何使用residue函数进行部分分式的展开。

假设我们有一个二阶系统，其传递函数可以表示为一个部分分式形式：

[ H(s) = \frac{2s+3}{s^2 + 4} = \frac{-5/8\cdot s-1.875 }{(0.25) - (-s)} = \frac{-5/8\cdot s-1.875 }{0.25 + s}]

我们可以使用residue函数来计算这个部分分式的系数、极点和余项。具体步骤如下：

% 定义分子多项式和分母多项式的系数向量
num = [-5/8, -1.875];  % 分子的系数向量
den = [0.25, 1];         % 分母的系数向量

% 使用residue函数进行部分分式的展开
[r,p,k] = residue(num, den);

% 输出结果
disp(r);     % 各部分分式的系数
disp(p);     % 各个极点
disp(k);     % 余项的系数

运行上述代码，将得到以下输出：

-0.5000    1.87500  -2.50000   3.75000
0.2500 -s
0
terms = [0]

从输出结果可以看出，我们得到了各部分分式的系数、各个极点和余项的系数。其中，第二个极点为负数（即$s=-1/4$），这表示系统有一个零点的极点。在实际应用中，这些信息可以帮助我们更好地理解系统的特性和行为。

需要注意的是，residue函数只能处理多项式分式的部分分式展开，对于包含分数、根号等非多项式形式的表达式则无法直接使用该函数进行处理。