子空间的投影矩阵推导过程及其性质

一维投影 设向量 bbb 在子空间 aaa 上的投影为 向量 p=xap = xap=xa,则向量b 与 向量p 之间的最小误差 e=b−pe=b-pe=b−p与子空间aaa正交。 由正交的定义有: aT(b−p)=0→aT(b−xa)=0a^T(b-p)=0 \rightarrow a^T(b-xa)=0aT(b−p)=0→aT(b−xa)=0 所以:aTax=aTba^Tax=a^TbaTax=aTb 所以:x=aTbaTa=a⋅ba⋅ax = \frac{a^Tb}{a^Ta} = \frac{a \cdot b}{a \cdot a}x=aTaaTb​=a⋅aa⋅b​ 向量b 在子空