傅立叶变换推导

傅立叶变换详细推导的介绍，很不错，值得一看雷达第二节周期信号21连续周期信号x(=2Fj2 fitL:T7J。xjunit d2.1.1三角分解角分解是人们认识的最简单、有效的周期信号关键参数:是周期信号x(t)的周期f=称为周期信号频率。引入谐波频率f=L·厅r,切分解的子信号即谐波频率都是fr的整数倍。表示频率为的直流分量;时的分解子信号频率和信号频率一样大小f1=1·fr,也称为基波。在某些书把二者混为一谈,我还是想把这二者分开,信号频率fr,基波频率f1,我认为是两个数值一样但称呼不一样的正余弦函数形式x(t=ao +[a, cos(2ifit)+ b, sin (2nfit)+ laz cos (2n f2t)+2sin(2mf2t]+[a3Cos(2πf3t)+b3Sin(2丌f3t)]+…+[a:cos(2丌ft)+ b, sin(2丌ft)]1Tx(tdtaT)x(t)cos(2Ifitdtx(t)·sin(2丌ft)dt雷达f =i r=-放大倍虚线是基波、实线是二次谐波形式,高次谐波以此类推。单余弦分解形式这个是工稈中展示真实信号频谱最直观的分解方式,直观显示相位:x(t)=co+c1·cos(2πf1t+q1)+c2·cos(2n2t+φ2)+c3COs(2f3t+φ3)+…+c:cos(2πft+q)+其中,q;是初相。分解的简单子函数系列:[a:Cos(2mft)+bsin(2mf)]或者Ct·Cos(2mt+q)称为分解基。这些分解集的特点是量量正交,就像三维坐标系中的轴。任意两个基在一个周期内对时间积分为。即:≠n,Jnx:(t)·xn(t)lt=0。分解示意图如下:雷达厝期信号单个直流分量相基波信号二次波信号二次波信号个内个波形个内个波形个内个波形是的整数倍。的幅值般较大,是主要分量为什么频率是离散的哪?这些频率值无穷多吗?因为谐波频率/只取周期信号频率∫或者侻基频丘的正整数倍。无限的谐波分量,即有无狠多个离散值。信号的频带频率从小到大排列的集合也是无限宽。事实中,工程中的周期信号,随着频率的増高,谐波的幅值是衰减的。当很高的那个谐波幅值和基频的嘔偵相比很小很小可以忽眳时,谐波数量訫不再增加了。认为是有限谐波,有限带宽复数域分解复数a+jb的指数形式:雷达r·e10=r·(cose+ sine)2a+b2, tan e现在如果取r=1=yaa2 +b2, eje= cos 8+ jsing复数指数形式的几何意义,因为模值是圆半径固定,仅角度变化,所以称为旋转引子假设存在这样的分解公式x()=∑(Fe设复数F2=m+1n=|Fl·el,IF;|=/m2+n,tanq=mam:17:与时间无关,但f相关,具体的关系现在不知道,需要推导计算。首先,计算…特例F1·e/2mht=|F1|·e1q1·e2nnt=|F1|·e/(2nnt+q1)其次,计算负值特例的情况。F-1el2xr-t=|F-1|·e19-1·e12n-1t=|F11|·e/(2丌f-1t+-1),其中,旋转因子,e1(2+q)与e1(2r-t+q-1)有何异同?f1=-1fq1=-q1;所以,e(2m过t1)=e(2nht+1),旋转方向不同。雷达单个成对正值一逆时针转Φ止、负项成对虚轴抵消为实轴叠加变倍负值顺时针转负频率也许找到些许原因走红色是单个长度,红蓝就是合成的最终长度从图中看出,当为正值时,复数以逆时针的方法旋转,当为负值时,复数以顺时针的方向旋转。在和时,二者的速度相同,只是绕向不同。如果这两个复数相加,结果就是虚轴被抵消,只剩下实部。F1·e/2n+F-1·eB27-t2·|F1·cos(2nf1t+q1);同理对于,雷达分解推导关键点欧拉公式:正余弦与复数的桥梁cos(2f t)=5(e/fit +e-j2ifits(2-/0)=1:(epnr-e-Pt利用三角分解最基本式推导x(t=ao +a1 cos(2It)+b, sin(2nt+az cos(2 2t)+b2sin(2πf2t)]+[a3C0s(2丌/3t)+b3Sin(2丌ft)]+…+Lai cos(2Ifit)+ bi sin(2rfi t)]j2nfit已j2丌fej2兀futj2fit+(tbi=1bi2πfttbi+ej2πfitL=1看上面式子求和号中的部分:第·部分jonit2第二部分:ait)bj2πfit(i≠0)那么,求F+jb分析判断:2 cTx(t)·Cos(2mft)dt,偶函数哦,雷达b=Gx()·sin(2xft)d,奇函数,b:=-b+jbi a_i-jbX+∑Fapm+∑FepmCnf-it求和中第二部分做一个等量变换:从到正无穷,变换为从到负无穷。同时注意表达式中相关因子的正负号。x(t)=ao+〉F1:e/2m/4+j2nutLL=-1用什么变量表示公式并不影响函数的性质,和自变量并不景响求和的最终结果。整合到起,习惯上负值求和项写到左边,中间取零项,正值求和项写到右边:x(0)=2E: e/af t +a+2Ei'elZπfit现在想法把常数,放到求和号∑里面使求和项统一,需要判断ai=)≠0)F,at+左右极限相等,且值为:lim Fi= lim f_i 2i→0+0x(tF2·e12nf+2Fo+∑j2π/t雷达终极神器:周期信号分解的结果十Cx(=2已iFi分解权重当求一个陌生的事物时,看看他的定义或许知道怎么入手。从定义出发米求,x(t). cos(2f, t )dx(t)·jsin(2rf;t)d0x(t)·【cos(27f1)-jsin(27r)dt0TT(t)e / 2It dt积分区间为一个周期。画图如下显示,只是注意f就是直流,在图中是两段相同值得叠加,f1和f1两端值叠加才是基波的权重。负频率请与负数值区别开,筒子们。记住这点哦哦哦为什么这么说呀,因为我们是在信号的复数域分解中,产生负频率的。在实数域怎么就没见负频率哪,呵呵。。所有大背景是,复数域