同济高数第七版下册答案解析

笫八章向量代数与空间解析几何5的垂线,垂足B的坐标为(0,y0,0);PC为点P关于z轴的垂线,垂足C的坐标为(0,0,20)图8-310.过点P(x0,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?解如图8-4,过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标,其特点是,它们的横坐标均相同,纵坐标也均相同而过点P且平行于xOy面的平面丌上的点的坐标,其特点是,它们的竖坐标均相同.fP图8-411.一边长为a的正方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标解如图8-5,已知AB=a,故OA=0B=2m,于是各顶点的坐标分别为a.D,0,B(0a,00If fI26、《高等数学》(第七版)下册习题全解B图8-512.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离解点M到x轴的距离d=√(-3)2+52=√34,点M到y轴的距离2=√42+52=√41.点M到:轴的距离d3=42+(-3)2=√25=513.在yO:面上,求与三点A(3,1,2),B(4,-2、-2)和C(0,5,1)等距离的点解所求点在yOz面上,不妨设为P(0,y,),点P与三点A,B,C等距离PA|=32+(y-1)2+(:-2)2.PB|=42+(y+2)2+(:+2)PC|=√(y-5)2+(:-1)2由PA=|PB|=PC知2,-1)241,)221,2=(y-5)2+(:-1)29+(y-1)2+(2-2)2=16+(y+2)2+(:+2)29+(y-1)2+(2-2)2=(y-5)2+(:-1)解上述方程组,得y=1,=-2.故所求点坐标为(0,1,-2)14.试证明以三点A(4.1,9),B(10.-1.6),C(2.4,3)为顶点的三角形是等腰直角角形证由AB|=√(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=71AC|=√(2-4)2+(4-1)2+(3-9)2=7BC|=√(2-10)2+(4+1)2+(3-6)2=、9s=7、2知AB=C及B12=AB2+AC12.故△ABC为等腰直角三角形15.设口知两点M1(4,2.1)和M2(3,0,2),计算向量M1M,的模、方同余弦和方向角解问量第八章向量代数与空间解析几何其模|M,M2|=√(-1)2+(-2)2+12=4=2.其方向余弦分别为Cs二2COs)2·方向角分别为a=2丌,B=元丌,T16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0;(2)cosB=1;(3)cosa=cosB=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?解(1)由esa=0知a=可,故向量与x轴垂直,平行于yOz面(2)由cosB=1知β=0,故向量与y轴同向,垂直于xOz面(3)由cosa=esB=0知&=B=,故向量垂直于x轴和y轴,即与z轴平行,垂直于xOy面17.设向量r的模是4,它与轴的夹角是,求r在u轴上的投影解已知r|=4,则Pir=|r|cs=4·c=4×=218.一间量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7.求这向量的起点A的坐标解设A点坐标为(x,y,2),则AB=(2-x,-1-y,7-2)由题意知4.了7故x=-2,y=3,x=0,因此A点坐标为(-2,3,0)19.设m=3+5+8k,n=2i-4-7k和p=5+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4-7k)-(5i+j-4k)131+7+15ka在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7习题8-2数量积向量积*混合积2k,b=i+2j-k,求(1)a·b及axb;(2)(-2a)·孙b及ax2b:(3)a,b的夹角的余弦解(1)a·b=(3,-1,-2)·(1,2,-1)3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=38、《高等数学》(第七版)下册习题全解kb(5,1,7)(2)(-2a)·3b=-6(a·b)=-6×3=-18,x2b=2(axb)=2(5,1,7)=(10,2,14)·b3(3)cos(a b)32+(-1)2+(-2)14622≌a2.设a,b,c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a解已知|a|=|b=|c|=1,a+b+c=0,故(a+b+e)·(a+b+c)=0.即|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2c·a=0.因此a·b+b·c+c·a=-(a|2+|b3.已知M1(1,-1,2),M2(3,3,1)和M3(3,1,3).求与M1M2M2M3同时垂直的单位向量解1M2=(3-1,3-(-1).1-2)=(24.-1)2M3=(3-3,1-3,3-1)=(0、-2,2)由于M12xM2M3与M,M2,M2M3同时垂直,故所求向量可取为±(M1M2xM2M3)EM;M,×M,M1M1M2xM2M3=√62+(-4)2+(-4)5=√68=217知±1(6,-4,-4)2√171774.设质量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M,(1.4.2).计算重力所作的功(坐标系长度单位为m,重力方向为:轴负方向)解M1M2=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6)F=(0,0,-100×9.8)=(0,0,-980)W=F·M1M2=(0,0,-980)·(-2.3,-6)=580(J)5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P处,有一与OP1成角1的作用着;在O的另一侧与点O的距离为:的点P,处,有一与OP成角O2的与F作用着(图8-6).间01,B2,x1,2,F1,|F:符合怎样的条件才能使杠杆保持第八章向量代数与空间解析几何平衡?F图8-6解如图8-6.已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为isin 8,-F,x,sin2=0即II, sin 0=I F2 x2sin B26.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影a·b(4,-3,4)·(2,2,1)6ribab22+22+127.设a=(3,5,-2),b=(2,1,4),问A与A有怎样的关系,能使得Aa+pb与z轴垂直?解Aa+山b=A(3.5,-2)+u(2,1,4)=(3A+2,5A+,-2A+4)要Aa+b与z轴垂直,即要(A+kb)⊥(0,0,1),即(Aa+pb).(0,0,1)=0,亦即(3A+2u,5A+,-2A+4):(0,0,1)=0故-2A+4=0,因此当A=2时能使Aa+Mb与z轴垂直8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角证如图8-7,设AB是圆O的直径.C点在圆周上,要证∠ACB=,只要证A·BC=0即可.由AC·BC=(AO+OC)·(BO+OC)AG·BG+A0.oC+0C·BO+|OC=-|A012+A0·0C-A0·+0C212=0,故AC⊥BC,∠ACB为直角O图8-79.已知向最a=2i-3j+k,b=i-j+3k和c=}-2j,计算:10、《高等数学》(第七版)下册习题全解(1)(a·b)cc)b;(2)(a+b)×(b+c);(3)(a×b)·c.解(1)a·b=(2,-3,1)·(1,-1,3)=8,a·c=(2,-3,1)·(1,-2.0)(a·b)c-(a·c)b=8(1,-2,0)-8(3)=(0,-8,-2424k(2)a+b=(2,-3,1)+(1,-1,3)=(3,-4,4),b+c=(1,-1,3)+(1,-2,0)=(2,-3,3)k(a+b)x(b+c)=3-44=(0.-1,-1)=-j-k2-332-313)(axb)·c=1-13|=220〓10.已知O4=i+3k,OB=j+3k,求△OAB的面积解由向量积的儿何意义知01 x0ij kOA×OB=10(-3,-3,10A×OB故:11.已知a=(a,,a,,〃:),b=(b,,b,,b2),c=(c,,C:),试利用行列式的性质证明(axb)·c=(bxc)(cxa)·b证因为(axb)·c=b,b,b、(bxc)·a=,ctr而由行列式的性质知,b、h=,,:=,n,:故(a×b)·c=(b×c)(cxa)·b.第八章向量代数与空间解析几何12.试用向量证明不等式Vai+a2 +a5 vii +b5+33>a,b,+a其中a1,a2,α3,b1,b2,b为任意实数.并指出等号成立的条件证设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).由a·b=a‖b|cs(a,b)知,a·b|=|abl‖cos(a,b)|≤|a‖b|,从而君当a1,a2,a3与b1,b2,b3成比例,即,=时,上述等式成立题83平面及其方程≌1.求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程解所求平面与已知平面3x-7y+52-12=0平行.因此所求平面的法向量可取为n=(3,-7,5),设所求平面为3x-7y+5z+D=0将点(3,0,-1)代入上式得D=-4.故所求平面方程为3x-7y+5z-4=0.22.求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M的线段OMo垂直的平面方程一解OM=(2,9,-6).所求平面与OM0垂直,可取n=OM,设所求平面方程为2x+9y-6z+D=0.将点M0(2,9,-6)代人上式,得D=-121故所求平面方程为2x+9y-6z-121=0.33.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程12+1解t1-2-1-2-12+1=0,得x-3y-2:=0,即为所求平面方程2+1注设M(x,y,z)为平面上任一点,M(x1,y,z;)(=1,2,3)为平面上已知点M1M·(M1M2×M1M3)=0,即I-xI yy0它就表示过已知三点M,(=1,2,3)的平面方程4.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:(2)3y-1=012、《高等数学》(第七版)下册习题全解(3)2x-3y-6=0(4)x-3(5)y+z=1=0;(7)6x+50.解(1)-(7)的平面分别如图8-8(a)一(g).(1)x=0表示O:坐标面(2)3y-1=0表示过点(0,,0且与y轴垂直的平面(3)2x-3y-6=0表示与:轴平行的平面4)x-√3y=0表示过z轴的平面(5)y+z=1表示平行于x轴的平面(6)x-2x=0表示过y轴的平面(7)6x+5y-z=0表示过原点的平面(b)(c)图8-85.求平面2x-2y++5=0与各坐标面的夹角的余弦解平面的法向量为n=(2,-2,1).设平而与三个坐标面x(,.1()=.:();的夹角分别为1,B2,0x则根据平面的方向余弦知o"1=(y=k(2,-2,1)·(0,0,1)n‖|k