自回避随机行走问题

假设有一条狗放在某个城市中心点，它试图逃出城市，此城市有N条南北走向的街道和N条东西走向的街道，所有街道均匀交叉分布构成网格形式。这条狗在逃出城市的过程中，遇到每个交叉路口则按照随机概率的大小选择前进方向，它能够通过灵敏的嗅觉和记忆不走重复路。当狗走到某个交叉路口时，如果三个可选方向均指向以前走过的路口就必须回头，则陷入死胡同状态。设狗尝试逃出的次数设为T，假设给出某个确定的N值，分析并输出这条狗陷入死胡同的概率是多少，行走路径的平均长度是多少？成功逃出的平均路径长度和陷入死胡同的平均路径长度各是多少？