线性代数与空间解析几何

将线性代数与空间解析几何这两部分内容按其自身的内在联系合理地结合起来，使它们相互支持，前后呼应，成为一体。内容包括行列式、矩阵、几何向量、n维向量、空间中的平面与直线、线性方程组、特征值与特征向量、线性空间与线性变换、二次型、空间中的曲面与曲线。国家工科数学教学基地恰尔滨工业大学数学教材编写委员会主任王勇委员(按姓氏笔划为序)邓廷权王立华王学白红包革军母立华匡正刘锐曲中宪孙淑珍邢爾君许承德杜凤芝何文章李燕杰宋代清宋作中吴勃英杨金顺张彪张池平张传义张宗达尚寿亭苑延华郑宝东施云意高有唐余勇崔明根盖云英董增福焦光虹游宏蔡吉花内容筒介本书是在多年教学改革的基础上产生的,它将线性代数与空间解析几何合理地结合起来·在保持两部分内容完整存在的基础上加强相互呼应联系和渗透内容包括行列式矩阵,向量线性方程组特征值特征向量相似矩阵,二次型平面、直线、空间曲面与曲线等内容每章后均配有一定数量习题.书后配有综合练习10题本书可作为工科大学本科生数学课教材,也可作为硕土研究生人学考试的参考书线性代数与空间解析几何Xianxingdaishu Yu Kongjianjiexijihe郑宝东主编略尔滨工业大学出版社岀版发行唔尔滨工业大学印刷厂印刷开本787×10921/16印张13.5字数310千字2000年5月第1版200年5月第1次印刷印数1~6000ISBN7-5603-1529-1/O·107定价17.00元培养基础扎实、勇于创新型人才,历来是大学教育的一个重要目标随着知识经济时代的到来,这一目标显得更加突出在工科大学教育中,数学课既是基础理论课程,又在培养学生抽象思维能力逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力诸方面起着特殊重要的作用.为适应培养21世纪工程技术人才对数学的要求,我们按照原国家教委关于系列课程改革的精神,多年来在数学教学改革方面进行了探索取得一定的成效在此基础上,编写了这套教材,其中包括:工科数学分析(上下册),线性代数与空间解析几何概率论与数理统计,计算方法,数学实验,这套教材是参照原国家教委1995年颁布的高等工业学校本科各门数学课程教学基本要求和1997年研究生人学考试大纲编写的.为满足不同专业、不同层次学生的需要,这套教材适当增加了部分内容,对学生能力的要求也有所提高本教材的编写力求具有以下特色1.将各门课程的内容有机结合融汇贯通,既保证了教学质量的提高,又压缩了教学时数2.重视对学生能力的培养,注意提高学生基本素质.对基本概念、理论、思想方法的阐述准确、简洁、透仞深人,取材上,精选内容,突出重点,强调应用注意奠定学生创新能力的基础3.例题和习题丰富,特别是综合性和实际应用性的题较多,有利于学生掌握所学内容,提高分析问题和解决问题的能力4.以简介和附录的形式为学生展望新知识留下窗口,以开阔学生的视野,为进一步拓宽数学知识指出方向本教材主要由哈尔滨工业大学数学系各教研室教师编写东北电力学院,黑龙江科技学院鞍山师范学院,大庆石油学院等学校的教师参加了部分章节的编写工作哈尔滨工业大学数学系富景隆、杨克劭曹彬、戚振开、薛小平五位教授分别审阅了教材的各部分内容提出了许多宝贵意见由于编者水平有限,教材中缺点和疏漏在所难兔,恳请读者批评指正哈尔滨工业大学工科数学教材编写委员会200年5月目录第灬章n阶行列式■■+吾冒+1晋警早?号■自口自自自自暗自自曹自自盘自◆·自自自会■●自曾自者唱咖喜鲁自●噜1.1n阶行列式…看血■血司■1.2n玢行列式的性质………………(6)1.3克莱姆( Cramer)法则…415习题昏鹵■亡■斗b昏自q4■鲁冒吾平↓甲吾甲司■自鲁鲁■17第二章矩阵…幽■自··自血自··■●■冒·啁卩聊罪山t晉b·b倡瞢俨■甲早甲早ψ噜幽·血嚕喜·●·■自唱D唱暴■【···■●咖■421)2.1矩阵的概念……………………!…………(22.2矩阵的运算…4(32.3逆矩阵………………………………………………(30)2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩………………(33)2.5初等阵4a=白自·B··●晶L↓……………〔40)2.6分块矩阵甲甲聊■血·西昌晶■聊哥■罪■■q自冒鲁音日·◆宁日●■◆早2.7分块阵的初等变换……………………"…………1(49习题二●P命咖自血·●■·p即■4看4司咖◆■血血昌备甲早卓自自■·导申自●自自4b自……………(54)第三章几何向量…………………〔593.1几何向量及其线性运算山■■自晉卜■号量壘P啁甲平号自昌者真自(593.2几何向量的数量积向量积和混合积……(61)33空间中的平面与直线t●画咱·●■·看画聊■■自自昏曾督曾冒曾"41(69)习题(80)第四章n维向量…………………………………………………………(83)4.1n维向量及其线性运算(834.2向量组的线性相关与线性无关鼻昏警■自哥4曾……………(8443向量组的秩婚↓p备■I自自自4P◆■日q自婚·身自鲁日日日-會自氧中山当4■昏备卓罪■自自喜中目·看q甲甲罩(90)44向量空问…聊■自看目聊■“■÷·晕爭甲早血自●■■●■q··日聊习题四+香十画—■咱血急日·日4日·自···1日鲁日自自……"a""(104)第五章线性方程组■自L即哥■罪…………………(108)l线性方程组有解的条件………(10852线性方程组解的结构……(110)3利用矩阵的初等行变换解线性方程组………4(118)习题五∷∷…0122)第六章特征值特征向量及相似矩阵……,………………,……………(126)6.1特征值与特征向量…………………………………………………(126)6,2相似矩阵。日品歌唱罩:q日a日…………………………(130)63应用举例……………(135)习题六(138)第七章线性空间与线性变换…:(141)7.1绒性空间的概念……(4172线性空间的基、维数与坐标吧中甲甲晶山吾矗·h昌■d(1437、3线性变换………41习题七………--……-……………"……(150第八章二次型与二次曲面…………(153)8.实二次型…(15382化实二次型为标准形1音會自·■自噜■日P司鲁■(155)83正定实二次型…(162)8.4空间中的曲面与曲线……(165)8.5二次曲面……………………………………171)习题八日日·自日中甲。罪自合自印日自日自宁督号?平會■·早号中b通●■●罩179)综合练习100题■■■哥即日昏■自■自1自■曾和日督早自看日·〔183)习题参考答案↓■司『■自阶(192综合练习100题参考答案…(202英汉词汇索引…(205)第一章n阶行列式在工程技术和科学研究中,有很多问题需要用到“列式”这个数学工具本章主要讨论如下几个同题:1.行列式的定义2.行列式的性质;3行列式的计算;4.克菜姆 Cramer)法则1.1n阶行列式1.1.1全排列的逆序数、对换为了给出n阶行列式的定义,首先介绍全排列的逆序数”和全排列的“对换”把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元东的全排列(简称排列)n个不同元素的排列共有n!种.例如,自然数1,2,3的排列共有六种:123,132,213,231,312,321为了方便,今后把自然数1,2,…,n视为n个不同的元素的代表,用p表示这n个数中的一个(=1,2,…,n),且当i≠j时p≠p,于是pP2Pp3“p便是1,2,…n的排列.对排列p1p2…P我们把排在p前面且比p2大的数的个数t称为的逆序数把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的送序数.记为t(户P2…p)逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列·显然,排列2…n的逆序数为0,故它是偶排列.今后,称此排列为自然排列例1求排列23514的逆序数解在排列23514中,2的逆序数是0;3的逆序数是05的逆序数是0;1的逆序数是34的逆序数是1,故排列23514的逆序数t(23514)=0+0+0+3+1m4.在一个排列中,将某两个数的位置对调(其它数不动)的变动叫做一个对换.两个相邻数的对换称为相邻对换,定理11一个排列中的任意两个数对换后,排列改变奇偶性证先证相邮对换的情形设一个排列为412…a的b…bhn对换a与b后,排列变为a1a2…“a如babb2…bn显然,经过此对换后,a1a2,…,4,h1,b2,…,b的逆序数并不改变,而ab两数的逆序数变为:当ab时,a的逆序数不变,而b的逆序数减少1,所以,排列a42…3ab1b…m与a12Mbhb2…hm的奇偶性不同再证一般对换的情形对排列a1…awb1… mbc1…cn做m次相邻对换,变成a1a2…aabb2…bmc…n再做m+1次相邻对换,变成a12…ab2…bmac1c2…C,总之,经2m+1次相邻对换,可以把排列a2…a;ab1…bm5k1"Cn变成排列a1…a的1…bnC1c2…C,所以,这两个排列的奇偶性相反1.1.2n阶行列式的定义行列式的概念来源于对线性方程组的研究设二元绒性方程组a1x2十b4y了h2其中a1a2-a12a2a10现在讨论方程组(1)的求解公式.对(1)作加减消元得a12121)x2=a152一b120,得1:(216a-b式(2)就是方程组(1)的求解公式·但式(2)不易记忆,因而有必要引进新的符号表示式设a1,a12,a2a2是四个数称代数和a1a-a1:a2为二阶行列式,记作称a(,j=1,2)为这个行列式的元素a,的两个下角标i,分别表示a所在的行和列的序号对线性方程组(1),记Da1422-a1221xG,12ebara, bd2-61dd则式(2)可写成D例如,对线性方程组x1+2x2=1由于35D3×2-5×(一1)=11≠012×2-5×13×2-1X(一1)=4所以D为了得出关于三元线性方程组a,x, ta.2x2+a283=b2的类似解法,我们引入三阶行列式.称r4=a14223+dt34t3-i42343-a!H4(3为三阶行列式例姬3×1×0+0×2×2+4×1×1-3×2×1-0×1X0—4×1×210利用三阶行列式可以把一类三元线性方程组的解表达成简洁的形式.例如,设方程组ad?l.十a32x2+a=6的系数行列式D=D=bD2=a2 b2 a23a12b1D2131 a32 b3则该方程组的解为D2DD由三阶行列式的定义容易看出:1.式(3)等号后共有3!项2.式(3)等号后的每一项恰是二个元素的乘积a1n,、4·如果将行指标按自然次序排成123,则这三个元素的列指标排成p1P2P3,它是1,2,3的排列.因此,等号右边恰好是所有位于不同行、不同列的3个元素之积的代数和3.式(3)等号后答项的正负号由列指标排列的奇偶性决定(此时行据标按自然次序排列).对应的列指标的排列分别是123,3t2,231时,它们都是偶排列,取正号;对应的列指标的排列分别是132,213,321时,它们都是奇排列,取负号至此,可将行列式的概念推广到n阶定义I.I设n2个数,排成n行n列的数表212(4)其中a,是第氵行第j列的数称为元素)每取由1至a的一个排列PP2…p做n个元素an,42;…a,的乘积,并冠以符号(-1),而得到一项)1P1P2“Pn这样的项共有n!个·称这n!项的和为与表(4)相对应的n阶行列式,记作