泛函分析学习指南
泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案泛函分析答案内容简介本书是高等院校高年级本科生泛函分析课程的辅导教材可与国内通用的泛函分析教材同步使用,特别适合于作为《泛函分析讲义(上册)》(张恭庆、林源渠编著,北京大学出版社)的配套辅导教材。全书共分四章,内容包括度量空间、线性算子与线性泛函广义函数与索伯列夫空间、紧算子与 Fredholm算子。每小节按基本内容、典型例题精解两部分编写。基本内容简明介绍了读者应掌握的基础知识;典型例题精解按照基础题、规范题、综合题三种类型,从易到难,循序渐进,详细讲述例题的解法,并对解题方法进行归纳和总结,以帮助学生克服由于不适应泛函分析中全新的研究对象和处理问题的方法所产生的困惑,同时也为任课教师提供一些便利条件,本书可作为综合大学、理工科大学、高等师范学校数学、计算数学、应用数学等专业大学生学习泛函分析的辅导书。对担任泛函分析课程教学任务的青年教师,本书是较好的教学参考书。作者筒介林源渠北京大学数学科学学院教授。1965年毕业于北京大学数学力学系,长期从事高等数学、数学分析、泛函分析等课程的教学工作,具有丰富的教学经验;对泛函分析解题思路、方法与技巧有深入研究,善于进行归纳和总结。他参加编写的教材有《泛函分析讲义〔上册)》、《数值分析》、《数学分析习题课教材》、《数学分析解题指南》北京大学出版社)、《数学分析习题集》等。序言泛函分析是一门比较抽象的学科,这对学生的学习和教师的教学都有一定的难庋。编写这一部《泛函分析学习指南》就是希望以此帮助学生克服由于不适应泛函分析中全新的研究对象和处理问题的方法而产生的困惑,同时也为讲授此课程的教师提供一些便利的条件。目前许多学校选择由北京大学出版社出版,张恭庆、林源渠编著的《泛函分析讲义(上册)》作为本科泛函分析课程的教材。本书的章节安排都与《泛函分析讲义(上册)》教材一致,基本内容部分所列的定理、命题都可以在教材中找到证明。教材中所有稍难的习题在本书中都给出了详细的解法。本书按泛函分析课程教学的基本要求编写,不管课程使用何种教材,都可使用本书作为学习辅导材料。本书典型例题精解部分所列例题有三种类型:第一种是基础题,它们用到的知识基本上局限在所在章节提供的基本内容范围,只要细心从定义出发或应用所在章节的定理就能得到解答。笫二种是规范题,解题使用的方法、体现的慼想在泛函分析中具有典型性,学生应从中体验泛函分析的基本思想和方法;它们概括了处理某一类课題的规范性方法。第三种是综合题,它们用到A DB=C又如一串推出符号A>B→C→D排版成U形推理串:A DB==>C根据作者多年的教学经验,这样形式书写的板书和制作的课件直观、醒目,便于学生阅读。最后,作者对本书责任编辑刘勇同志的细心审校表示衷心的感谢。同时诚恳地布望读者对书中不足之处给予指正。如果读者阅读本书时遇到疑难问题,可与作者联糸,电子邮件地址:1yq@math.pku.edu.cn。林源渠2008年10月于北京大学2目录第一章度量空间(1)§1压缩映像原理…(1)基本内容………………………………(1)距离空间的定义(1)距离空间的刻画(1)典型例题精解(2)§2完备化……(11)基本内容……(11)典型例题精解…………………………………(12)§3列紧集············●·········●·····················a-·······●(19)基本内容……………………………(19)典型例题精解………………………………………………(20)§4线性赋范空间………………………………(25)基本内容…………………………………………(25)线性空间与线性赋范空间●。·●0●曹。··●。●·q0●●D·●●。●。●自●。●●●(25)几个重要的 Banach空间(27)应用(最佳逼近问题)………(30)有穷维B*空间的刻画(30)南容间30基本内容………………………(56)典型例题精解…………………(61)第二章线性算子与线性泛函(67)§1线性算子和线性泛函的定义…●●●●●(67基本内容sb●●●●.●●●●●。·●b●a··a·自·音自自···鲁●·●(67)线性算子和线性泛函的定义……………(67)线性算子的连续性和有界性……………(67)典型例题精解…(68)S2 Riesz定理及其应用………(84)基本内容…(84)典型例题精解………………………(84)§3纲与开映像定理………(88)基本内容(88)纲与纲推理…………………(88)开映像定理(88)闭图像定理(89)共鸣定理(90)应用aaaa.s··。···as·●ss·s·a·●●················。●(90)典型例题精解●●●b●·●●·●●··。●·●自·鲁●鲁鲁■·鲁鲁鲁鲁鲁自●●●■●·●·●自·●●。●●(91)§4Hahn- Banach定理…………………(115)基本内容…………………………(115)Hahn-Banach定理(115)几何形式——凸集分离定理●●●……(117)应用……………………………(119)典型例题精解·●·●●●。鲁。···●级·●··■最···●·············19)§5共轭空间·弱收敛·自反空间……(131)基本内容…………(131)共轭空间与自然映射…(131)弱列紧性与弱兴列紧性·…………………(133)典型例题精解……………(134)§6线性算子的谱●··●p●●b●·●非·●●·●··●●●●···········●●··鲁b●●●·●(156)基本内容…·(156)谱的定义与性质…(156)Gelfand定理…………(157)典型例题精解…158)第三章广义函数与 Sobolev空间…………………………(166)§1广义函数的概念………………………………(166)基本内容●●··●●●。D●看●●●··。●●·●·●·●·B。●●。。。●●●●鲁·。●●鲁自b吾·(166)软化子(磨光函数)…………………………(167)基本函数空间多m)…………………(168)广义函数的定义和基本性质(168)广义函数的收敛性………(169)典型例题精解……………(169)§2B空间…(175)基本内容……………………(175)典型例题精解…………………(177)§3广义函数的运算…∴(179)基本内容……………………(179)广义微商…………(180)广义函数的乘法……………(180)平移算子与反射算子……(181)几个公式………………(181)典型例题精解……(182)§4上的 Fourier变换………………………(184)基本内容…………………(184)第四章紧算子与 Fredholm算子●q●。■曹。····自自●D··●…(202)§1紧算子定义和基本性质…………(202)基本内容………………………………(202)典型例题精解……………(203)§2 Riesz- Fredholm理论…………………(211)基本内容…………(211)记号…●●●●·●●……(211)重要结论…………………………(212)典型例题精解■。。●。●●●●●●D●●●·D●··看·D●·。自●·····●···●·●·●·●·●(212)§3紧算子的谱理论( Riesz-Schauder理论)●··●●●·●●看●鲁●●(222)基本内容………………(222)紧算子的谱…(222)不变子空间●●●●●·●●鲁●D··●●··●●●··●··D自●●(222)紧算子的结构…………………………………(223)典型例题精解………………………(223)s4 Hilbert-Schmidt定理…(233)基本内容(233)典型例题精解(235)§5对椭圆型方程的应用……………………(241)基本内容0●是●0看日●●●●·●●·o····。●··●。·······●·●··●●·●●●·●●(241)对于边值问题的应用………………(241)对于特征值问题的应用……(241)典型例题精解(241)§6 Fredholm算子…………………………(247)基本内容………………………(247)典型例题精解…………(248)符号表……………………(254)4第一章度量空间§1压缩映像原理基本内容距离空间的定义度量空间又称距离空间,它是一种拓扑空间,其上的拓扑由指定的个距离决定定义1设是一个非空集,若存在B上一个双变量的实值函数p(x,y),满足下列三个条件:(1)正定性:p(x,y)≥0,而且p(x,y)=0当且仅当x=y;(2)对称性:p(x,y)=p(y,x);(3)三角不等式:p(x,2)≤P(x,y)+P(y,2)(x,y,∈),则称P为2上一个距离,G称为距离空间一个以P为距离的距离空间3记做(,p)类似于欧氏空间情形,可以在距离空间中引进一系列重要概念首先是拓扑概念,将名中满足不等式p(x,a)
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