空间解析几何

解析几何，高数第七章；对opengl算法研究及深入学习大有裨益。如图所小,设M为空间的任意一点,M为它在xOy平面上的正投影,设M在xOy坐标系中的坐标为xy过M作z轴的垂线,垂足R在z轴上的坐标为z,这样点M就唯一地确定了一组三元有序数组xyz.反之,如果任给组三元有序数组xyz,过xOy平面上坐标为xy的点M作xOy面的垂线l,过轴上坐标为的点R作之轴的垂直平面,可得与Z唯一的交点M.称这样的三元---------M有序实数组xyz为点M在该空间直角坐标系中的坐标记作Mxyz或Mxy2,xyz分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标,也称为点M坐标的xy和z分量.上述讨论也表明,在建立了空间直角丛标系后,就能在空间点M与其坐标之间建立一一对应的关系原点O的坐标均为,即O);点M在xOy坐标面上Mxy;点M在x轴上◇Mx.类似可得其它坐标面或坐标轴上点的坐标特征.八个卦限内点的三个坐标均不为零,各分量的符号由点所在卦限确定类似于平面直角坐标系下的情形,可以讨论关于坐标轴、坐标面、坐标原点对称的点的坐标关系,例如,与点xyz关于x轴对称的点为xyz;与点xy2关于xOy坐标面对称的点为xyz;与点xyz关于原点对称的点为xyz等例长方体 ABCDABCL的棱长 AB aAD 6AA C,以顶点A为原点、过A的三条棱为坐标轴,建立直角巫标系如图.求长方体各顶点、各个面的中心及长方体中心在该坐标系中的坐标之解顶点坐标:ABcab d bc b a ccabcd bc:A各面中心坐标: E aB:!注22…EE卿e abceE:D2长方体中心F坐标:Fab例正圆锥母线与中心轴成q角,P为锥面上一点OPl;以圆锥顶点为原点、中心轴为之轴建立坐标系POP为OP在xOy坐标面上的止射影,从x轴止向到OP的角为a.试用l@a表示点P的标,解P坐标的xy分量与P在xOy坐标系中的坐标相同: OPOP l,所以P坐标的xy分量P坐标的分量是P在之轴上投影P的坐标,所以R综合之,点P坐标为lal.qalφMk同时,如果取x轴y轴和≈轴的单位为单位向量或,,,则空间中的任意点M可以看成是原点O与M的有向CL线段,即向量其对应于++,得到向高等数学同济五版第七章量的坐标分解式,其中称为向量沿三个坐标轴方向的分向量反之设在空间中建立了直角坐杯系Oxyz,把凵知向量a的起点移到原点O时,其终点在M,即aOMM称OM为向径(或矢径),通常记作r;称点M的坐标xyz为a的坐标,记作axyz,即向量a的坐标就是与其相等的向径的终点坐标.这样在建立了直角坐标系空间中,向量、向径、坐标之间就有一一对应的关系若axyz,则a+y+2例长方体 ABCDABC D的过顶点A的三条棱长 AB ad b4 c,直角坐标系Oxyz的xyz轴次平行于 ABADAA.求以A和B为始点的各对角线向量的坐标解如图所示,以A为始点的对角线向量有 AB AC AD AC.AB对应的向径为AOB, OBc,所以ABacBAC对应的向径为OC,OCab,所以ACabB、AD同理可得 Ad bc ac abc以B为始点的对角线向量有 BA BDBD BCBA对应的向径为OA,OAac,所以BAac;同理可得BDabBd a b c BC AD bc.把向量a的始点移到点M时,终点在N.若已知点MN的坐标为 n y 2 v 2,则aMN对应向径OP的终点P坐标为 e xyy,所以 a e tyy2 2即向量坐标为终点坐标减去对应始点坐标.根据公式,立即得到空间两点距离公式若 Mx y g Nxy 2,则MN x-x+y-y +2-2例已知向量aAB始点A的坐标为求终点B的坐标解设Bxyz,则 Ab z所以xyz,即B例求点Mxyz到三条坐标轴的距离解设点Mxyz在x轴上的投影为点P,则点P为Px,月线段MP的长就是点M到x轴的距离.由公式得MP v(x-x)+y+2同理可得,点M到y轴z轴的距离分别为高等数学同济五版第七章MQ√x+z,MRyx+y其中点QR分别是点M在y轴、z轴上的投影例在y轴上求与点A和B等距离的点解因为所求的点在y轴上,故可设它为My.根据题意有MAMB,即√-)+(-y)+(-)=√-)+(-y)+(--),两边平方去根号,整理后得y,从而有y所以,所求的点M的坐标为7.1-4利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标可得向量的加法,减法以及向量的数乘运算如下在空间中已建立了坐标系Oxyz.以O为始点的个单位向量ih称为坐标基向量Raxyz为已知向量,对应的向径为OM.OM在三个M坐标轴上的投影依次 OP OQ OR,则kOP xi OQ y oR zk,Q依次称这三个向量为向量a关于x轴、y轴和z轴的分量OM xi yj zk设a x y z xi b xy z xiyi 2 k,,,abx讠yjzk± xi y z k之土之k所以a士bx±xy±yz±之ax2y元z例设b求ab,ab.解ab例设b求b解设bxyz.则所以b例设a讠jk,试求方向相反、长度为的向量b解bi k i j k例2-3见课本7.1-5向量的模,方向角,投影向量的模若axyz,则a√x+y+zx-x十例4-6见课本方向角:1.向量间夹角计算公式高等数学同济五版第七章非岺向量a,b的夹角公式:b若已知向量a= axitayj+ah,b=b计+byj+bk,则a6+ab +a bvax+a,+a2 vb,+by +b2向量的方向余弦的坐标表示非零向量a与三条坐标轴的夹角aB称为向量a的方向角,方向角的余弦aB1称为向量a的方向余弦如图所示,设向量 a ax dy de,把a的起点移到坐标A原点O,设它的终点为A,则向量a与三条坐标轴的夹角即为向y量OA与三个坐标基问量ijk的夹角.所以Oyax tataa·ha即为向量的方向余弦的坐标衣示式.比照向量单位化公式,可以发现,实际上向量a的方向余弦就是a的单位化向量ea的坐标,因此任何向量的方向余弦必定满足关系式a例78见课本向量在轴上的投影:定义(略),非零向量a与三条坐标轴的夹角为aBy则分别在三条坐标轴的投影为y.记作Prj投影的性质:见课本例9见课本[作业]:习题7-1:4,6,13,15,19§7.2数量积向量积*混合积7.2-1两向量的数量积.向量的数量积的概念F设有个物体在常力F的作用下沿直线运动,产生了位移SF力F可以分解成在位移方向的投影F和垂直于位移方向的投影F两部分,仅F对位移作功.记0F与S的夹角,则力F对位移F作功为高等数学同济五版第七章W Fs. 0等式的石端F在S方向上投影与S模的积.这是两个向量FS的一种运算,称为FS的数量积或点积向量夹角设ab为非零向量,将它们的起点都平移到同·点,那么衣示ab的两个线段所成的在与之间的角,称为量ab的夹角,记为ab或ba;若abz,则称ab垂直,记作a⊥b;O与任何向量夹角无意义;向量与坐标轴的夹角就是向量与轴正向所成的角向量的数量积定义设αb是两个向量,它们的模ab及火角的余弦ab的乘积,称为向量a与b的数量积或称点积,记作ab,即b a b向量的数量积是个数量,它由两个因了构成,第因了是向量a在向量b方向上投影向量的模a·ab;第二因子则是向量b的模b.因此向量的数量积实际上是一个向量在另一个向量上的投影积.由向量的数量积的定义,立即叫得三个坐标基向量k之间的数量积关系为ij阳;iij讠 ikk i kj数量积有以下运算性质:①1aaaa-a允许简写成a;②a·0,其中0是零向量;③交换律:abba;④4结合律:Aaba·bλab,其中元是仟意实数;⑤分配律:ab· c ac bc例已知ab-丌,ab,求向量cab的模.解a 66. a baaa bb a b-b a a-bb aa b ab b,将abbz代入,即得所以数量积的巫标表示式设 a axl ajαk, b bxi byi bzka b aiai azk bi b i bzkaxi bxi by, bω j bxi b,i bzkα zk bi b,j b2kab arbx abby a2bz例设aijh,bih,求 ab aa b解abb例1-3见课本7.2-2向量的向量积向量的向量积概念高等数学同济五版第七章陀螺就在原地旋转,并不移动,能量表现在有一和垂直冋上或冋下的力,使陀螺保持直立不倒向量积的定义定义两向量a与b按例方式确定一个向量c,c⊥b且c⊥a,即c垂直于向量ab所决定的平面,且按abc顺序构成右手系;2c的模 c ab a b.则称向量c为ab的向量积,记作ab.即cab因为向量积的运算符号是,故也直观地称叉积向量积的模的几何意义,表示以向量a与b为边所构成的半行四边形的由积向量积有以下运算性质bba00,其中0是零向量;数乘结合律:(a)bab(ab),其中是任意实数;左、右分配律: a b c aeb c; a bc ac ab性质说明,向量的向量积不满足交换律.如任意两个基向量的向量积,ij kj k i k i j,而j讠hhji讠hj分配律有左右之分:使用左分配率的向量只能在的左边;使用右分配率的向量则只能在的右边.结合律只能是对实数的结合,向量木身也不成立结合律,例如abc与abc般是两个不同的向量.向量积的坐标表示式设 a at ayαk, b bxi b3j62l,根据向量积的运算律,有a b axi ayi a2k bxi by bk axi bxi bi b十 ay, bi byj bzk十a2k bxi bxi b2k aybz a2by i axbz a2bxjaxby aybx k此即向量积的坐标表示式,为了便于记忆,把上述结果写成三阶行列式形式,然后按三阶行列式展开法则,关于第·行展开,即a×bar ay az十by belbo bbybx by b例设a-计2k,b2ik,求axb解a×b=h=元-j-3h.#例设已知点A(1,-2,3,B(0,1,-2)及向量a=(4,-1,0),求aAB及AB×a解AB=(0-1)i+[1-(2)]+(-2-3)k=-b+3j-5k,i j ka XAB=h=i+20)+11kAB Xa=-aX AB=-i-20j-11k.#例已知三点A求以这三点为顶点的空间三角形的面积S解ABAC高等数学同济五版第七章所以i kABXAC=k2=i2j-11k;AB×AC|=7.2-3向量的关系及判断向量垂直及其判定若非零向量a,b的火角(a,b)=90°,则称向量a,b重直,且记作a⊥b当a⊥b,据立即可得ab-abb反之,若a·b-且a,b为非岺向量,则必定有(a,b),(a,b)=90°,即a⊥b.由此可得定理两个非零向量a,b垂直◇>ab=.定理以坐标形式如下定理′设a= axil ayi ack,b= bxi i byj i b2k,a,b垂直台 axb2 I aybyl asb=0.(913)2.两个向量平行及其判定若把向量a,b的始点移到同一点后,它们的终点与始点都位于同·条直线上,则称两个向量平行,记作a∥b规定零向量0平行于任何向量平行向量也称共线向量,如图所示,a∥b,a∥c,也可以说a,bc是共线的.共线向量的方向或相同或相反,但模可以不等.定理a∥b◇存在实数λ使a=b.定理的坐标形式如下定理′设a=aai+ay+ak,b=bi+b小b2k.为两个非零向量,则a/be aa(9-15)其中若分母某坐标分量为,则分子对应坐标分量也为又若a∥b,则(a,b)=0或π,由此(a,b)=0.定理两个非零向量a∥ba×bO例试判定下列向量中哪些是平行的,哪些是垂直的?解所以∥,所以⊥例求同时垂直于向量和的单位向量于和c解ab同吋垂直a和b,ab=i-2+2h所求单位向量有两个,即高等数学同济五版第七章7.2-4*向量的混合积略作业]:习题7-2:1,2,7,9.§73曲面及其方程7.3-1曲面方程的概念球面,是空间中到定点M(球心)的距离为常数配(半径)的动点M的轨迹∑若已经建立了空间直角坐标系Oxy2,M的坐标为(x,ym,z),动点M的坐标为(x,y,2),则据空间两点距离公式,有Mxyx∈∑(x-x)+(yy)2-(2z)R上={(x,y,x)|(xx)21(yy)2(22)2=P(*)式称为是球面∑在给定坐标系中的方程,简称球面方程.特别地,当定点M是原点时球面方程是R般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ在建立了坐标系后,以M(x,y,z)表示动点,以表示构成Σ的约束条件,则称x,y,z的三元方程(1)为曲面∑的方程.在坐标系中描出满足(1)的点,得到的就是曲面E的图象.例如,描出满足(*)的点,得到的是图中所示的球面.空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面(1)据已给定的条件,求动点的轨迹,即建立曲面的方程;(2)凵知曲面的方程,研究曲面的形状和儿何性质球面的般方程例方程x+y+2-1x+22=0表示怎样的曲面?解通过配方,把原方程写成(x2)y2+(x+1)=5,由(9-35)可知该方程表示球心为(2,0,-1)、半径为√的球面.#推广例到般情况,方程A(x+y+2)+Dx+Ey+F2+G=0总可以通过配方成为(x-x0)+(yy)2+(x20)=H的形式,如果H>0,则满足(2)的点表示球面,因此称(2)为球面的一般方程例2-3见课本7.3-2.旋转曲面(1)旋转曲面的一般定义若动点在曲线上移动,同时曲线又绕定直线L旋转(简称曲线r绕一条定直线L旋转一周),称这样的动点所形成的轨迹∑为旋转曲面.称曲线T为旋转曲面的母线,称定直线L为旋转曲面的轴高等数学同济五版第七章