矩阵论引论

高等学校研究生教材矩阵论引论（陈祖明，周家胜）北京航空航天大学出版社Enn维欧氏空间X子空间X的代数补X4集合Ⅹ的正交补(x|y)向量x与y的内积·|·)内积直和直积x⊥y向量x与y正交、垂直X∩Y集合X与Y的交集X+Y子空间X与Y的直和X+Y或dg(X,Y)矩阵X与Y的直和AB矩阵A与R的直积 Kronecker积L(X,Y)从空间X到Y的线性变换空间ran(A)矩阵A的秩dimX空间X的维数nuI(A)矩阵A或线性算子A的零度pan La, 42 1,a]向量a1,a2;…,张成的线性子空间张空间PL,M沿空间M向空间L的投影A矩阵A的拉直dY短阵y关于矩阵X的微分dxmaxf(x)f(x)在S上的最大值Sminf(x)f(x)在S上的最小值r∈Sinf(x)f(x)在S上的下确界∈Ssupf(x)f(x)在S上的上确界redag(a:;a2,…,an)以a1,az;…,an为对角元的nxn阶对角矩阵R(T)线性变换T的值空间PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory comN(T)线性变换T的零空间或核mA(A)矩阵A的最小多项式mrx()线性变换T的最小多项式A矩阵A的()逆A{i}矩阵A的(i)-逆的集合A…*矩阵A的{,…k}逆A1i,j,k}矩阵A的{,,…,是}逆的集合x空间X的基底mxy,(T)线性变换T∈L(x,Y)关于基底偶(x,y)的短阵表水m(T)线性变换T∈L(X,X)关于基底旁x的矩阵表示实数域上n元复坐标向量所形成的线性空间Cx实数域上m×n阶复矩数所形成的线性空间Cx复系数n次多项式空间R[x]n实系数n次多项式空间C[c]复系数多项式空间R[x]实系数多项式空间p(x)iq(x)多项式q(x)可被多项式p(x)整除E(λ)特征值λ的特征子空间AB矩阵A与矩阵B相似xY空间X与空间Y同构cmn继复坐标向量空间PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com前言由于在近代数学、工程技术经济理论及管理科学中,大量地涉及到矩阵理论的知识,因此矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之另一方面,矩阵理论发展到今天,已经形成了一整套的理论和方法,内容非常丰宫,文献和专著浩如瀚海。这就给在专门科技领域中工作而又必须用到矩阵知识的人们,特别是工程技术人员带来了许多困难。本书的编写目的就是想为土述各类人员架设一座通向矩阵理论的桥梁,并通过这座桥梁使读者能尽快地得到各自需要的矩阵知识。编书所週到的最大困难恐怕要算是材料的取舍了。期望编一本适合各种专业需要的教材当然是不明智的,也是作者能力所不及的。即使勉强写了出来恐怕其结果要么显得冗长,要么形如蜻蜒点水,令人抓不着要领。这当然不是人们所期望的。因此,我们的编写原则是:重点突出点,起点高一点,论述详细点,联系实际点。而为选材得当我们又广泛地征求了各有关专业同志的意见按照这些同志的意见和作者多年来从事矩阵论教学的体会,同时依照国家教委关于工科硕士研究生《矩阵理论》教学大纲的规定,最后选定了矩阵的初等理论线性字间、矩阵分解矩阵分祈、广义逆矩阵及矩阵的拉直运算等为本书基本内容我们认为,这些内容在矩阵理论中既有基本理论意义,又有重要应用价值。学习本书的读者只须具备工科院校本科生必须的线性代数、高等数学和少量复变函数知识就可以了。为了检验读者对各章节内容理解的程度,同时也为了扩大读者的知识面,我们在各节后面大都安排了一些习题其中带星号的题目要求该者有一定的创造PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com力才能完成读者应力求完成不带星号的题目,而对带星号的呗应量力而行,不可强求本书共分六章前三章由陈祖明副教授执笔,后三章由周家胜副教授执笔,由于我们的水平有限,书中错误和疏漏之处在所难免。敬祈有关专家和读者不吝指正在本书的编写过程中得到我校柳重堪教授、王纪文教授、陆震教受、程鹏教授等的无私帮助。本书脱稿后,又承蒙史荣昌教授扬刚副教授审阅全稿,并捉出许多中肯的修改意,在此一并表示衷心的感谢!猕祖明周家胜1997年9月PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com目录符号说明前言第一章矩阵的初等理论81.1矩阵及其初等运算↓鲁曾·『晋■十乎■甲b督伊《冒(1)1.矩阵和向量………………………………(1)题1(4)2.矩阵的分块乘法与初等变换…………………(6)习题1.2………………………………………(14)§1.2矩阵的行列式和矩阵的秩(16).行列式及其性质…………………………(16)习题1.3…(21)矩阵的秩及其性质(25)习题1.4昏中要甲甲如甲p日如甲啁幽命“要4卓要誓早◆卓甲4警·昏日甲画最卓道目“导画(29)§1.3矩阵的迹和矩阵的特征值…(31)1.矩阵的迹及其初等性质…口甲■甲甲西自日▲血自口节·昌白日也西西↓·(31)2.矩阵的特征值及其计算……,………(32)习题1(39)第二章统性代数甚§2.1线性空间……6……(45)线性空间的定义及例子…舀卜血■香自自白血香士香自鲁·俨山(45)PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com习题2.1『_■1』■『■鲁■冒曾■D曾曾■■■■■■号■2.子空间的概念…………(52)可题2.2■■■口■冒■■『■■■口■■■鲁谭■罩■■■■■■■■■h早■酽■昏■■酽■■晶■■■冒■■(58基底和维数(6l可题2.3聊昏■■甲画■。■口口音·口·自■·即号■4■口■■口■自『■鲁早音■(了54.和空间与直和概念的推广…2.2内积空间…(79)1.内积空间的定义及例子■凸■會d香■■■啬τ4鲁『-Tb_l血m(80题2.4(83)2.由内积诱导出的几何概念(873.标准正交基底与Gram- Schmidi过程………(89习题2.5……8§2.3线性变换血■西·■▲血■当▲血西L口西西■通画■』西■■西■■■暑■■■画即■■■■(102).映射和线性变换………………………………(1Q2)习题2.6……………………………………(1052.线性变换的运算………………………………(107)习题21O93.与线性变换有关的子空间………………(110)习题2.8ph日『■■p………-…………………(13)S2.4线性变换的矩阵表示和空间的同构(1151.线性变换的矩阵表示…………(1162.线性空阿的同构↓画画如m血如日加日b是■n…*(121)习题2.9§2.5线性变换的最简矩阵表示■·即p最画司■号罪■自·會自■·命■l.线性变换的特征值与特征向量……(139)习题2.10(143)2.线性变换的零化多项式及最小多项式∵……(145习题2.1l■曲血血ψ■普中■自章要目学要画日早·日画幽+号∴…(153)3.不可对角化线性变换的最简矩阵表示p…(156)PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com习题2.12第三章短阵的几种重要分解§3.1矩阵的UR分解及其推论…(17)1.满秩方阵的UR分解………………(175)2.长方矩阵的分解……………………………(!76)3.几个具体例子d■●■啬b■最着画(180)4.关于矩阵的满秩分解的几个推论………(183)§3.2舒尔引理与正规矩阵的分解………………(187)舒尔引理(1872.矩阵的奇异值分解和极分解…(192日_4山日日日—日曰甲忐日习题3.1(1gS3.3幂等矩阵、投影算子及矩阵的谱分解式………(1991.授影算子、幂等算子和幂等矩阵…·音恤鲁中自曾中992.可对角化矩阵的谱分解(206)刁题3.2(215)第四章矩阵的广义逆4.1 Moore- Penrose广义逆矩阵……………(218)§4.2广义逆矩阵A1(2!9)广义逆A1)的定义和构造(219)2.广义逆A(1的性质◆●甲甲要唱暑山导甲鲁曾●■■(230)3.广义逆A(1应用于解线性方程组……………(233)习题4.1…(234)4.3广义逆矩阵A1,2)音■啬中鲁◆自中中即曲自中咖看曾即1辛■鲁中■冒甲司(238)1.广义逆A12)的定义及存在性(238)2.广义逆A山2的性质…s(239)3.广义逆A(,2的构造………………………(243)习题4.2(245PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com§4.4义逆矩阵4,(246)1.广义逆A(13的定义和构造d■·血b■b■●看d■d山■■最246)2.广义逆A·3)应用于解方程组……………(248)习题4.3(250§4.5广义逆矩阵A4.4…………………………………(252)1.广义逆A,的定义和构造(252)2.广义逆A(1;应用于解方程组…………………(254)可题4.4…256)§4.6M-P广义逆矩阵(258)1.MP广义逆的存在及性质(2582.MP广义逆的几种显式表示………………(263)3.MP广义逆用于解线性方程组…………………*(266)习题4.5……………………"……………(268)§4.7几种计算A+的直接方法2(270)1. Lagrange-Sylvester公式會■鲁早qqq■會。冒甲看口冒萨早■甲q■号■(27】aumann展式s…(271)第五章矩阵分析5.1向量范数及矩阵范数(2741.向量范数甲·■口日■q甲节·旮白如m自·语自白·看冒女晕曾导晋卧中(274)2.矩阵范数s"(281)可题5.Ⅰ■宁宁学曾………………………(288)85.2矩阵序列与矩阵级数■·■■■■聊●·自■即■罪ψ·山血■最(291).向量序列的极限rr(291)2.矩阵序列的极限…………(292)3.矩阵级数白鲁司e鲁口要q鲁卓Ⅱ●甲■甲司骨甲鲁甲即自會自·音自會窄·鲁早中P(295习题5.2甲日昔要章自血·如…………(298)§5.3矩阵的微分与积分………………………(299)1.函数矩阵及其极限鲁香配矗啬血山日1■普道口晋甲要即号■如■口甲(299)PDF檔案使用" pdfFactory PIo"試用版本建立 www pdffactory com