普林斯顿微积分读本

1. 函数 1. 函数 1. 函数：一个对象转化为另一个对象的规则。 2. 概念：输入、输出、定义域、值域，实际输处集合、上域，可能输处集合 3. 区间表示法： 开区间()、闭区间[]、半开区间(] 4. 求定义域 5. 利用图像求值域 6. 垂线检验，是不是一个函数 2. 反函数 1. 定义： 2. 水平线检验：如果一条水平线和函数图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数 3. 求逆：反函数是原始图像的镜面反射 4. 反函数的反函数是原始函数 3. 函数的复合 1. f(x) = g(h(x)) 4. 奇函数和偶函数 1. 偶函数：f(x) = f(-x) 定义 域内所有的x都成。关于y轴对称 2. 奇函数：f(-x) = -f(x) 定义域内所有的x都成。关于x180度对称 3. 函数可能是奇函数、偶函数、非奇非偶 5. 线性函数的图像 1. 点斜式 6. 常见函数及其图像 2. 三角学回顾 * 基本知识 * 三角函数的 定义域和扩展 1. 象限 参考角 ASTC方法 2. 大于2π的角 * 三角函数图像 * 恒等式 毕达哥拉斯定理（勾股定理）..... 1. 极限导论 1. 极限基本思想 1. x趋于2， f(x)的极限等于1， 表达大怎么写（lim） 2. 左极限和右极限 1. 减号 左极限 加好 右极限， 未标明就是双侧极限 3. 何时不存在极限 1. 垂直渐近线定义 2. lim sin(1/x) 3. x趋于无穷大，有一条水平渐近线 4. sin（x） -1 和1之间震荡，没有渐近线， x2(平方) 没有渐进线，x趋于无穷大，y也是无穷大 4. 大数和小数 5. 关于两个渐近线的错误认识 1. 一个函数不要求左右两边有相同的渐近线， 最多有两条水平渐渐线， 可以多条垂直渐近线， 垂直检验 2. 错误认识，一个函数不可能和他的渐近线相交 6. 三明治定理（夹逼定理） 7. 2. 如何求解涉及多项式的极限问题 1. x趋于a时有理函数极限 1. 两个多项式之比称作有理函数 2. 立方差公式： a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) 2. x趋于a时涉及平方根的极限 1. 共轭表达式 3. x趋于无穷大时有理函数极限 1. 多项式首相 4. x趋于无穷大时多项式项型（不是多项式）函数的极限 5. x趋于负无穷大时多项式项型（不是多项式）函数的极限 1. 注意x4次方这种 6. 包含绝对值的极限 3. 连续性和可导性 1. 连续性 1. 在一点处连续： lim(x-a) f(x) = f(a)， 就是上面的极限问题 2. 在一个区间上连续 3. 连续函数的例子， 每一个多项式都是连续的 4. 连续性也会证明求解极限问题的方法是ok的，x-1 可以把1带入函数，尽管代入后分母是0，与x=1处的点没有关系，仅仅与x=1附近的点有关系 5. 介值定理，证明多项式有几个解 6. 连续函数的最大值和最小值问题， 最大-最小值定理 2. 可导性 1. 函数的平滑度， 微积分最初来源于计算运动体的速度 2. 平均速率， 在引导极限 3. 位移与速度， 距离和位移区别， 速度和速率的区别 4. 瞬时速度 5. 速度的图像解释 6. 切线 7. 导函数， 怎么求导数。 8. 通过（x, f(x)）点切线的斜率是x的一个函数，这个函数称作f的导数，写作f’， 称作f关于变量x求导得到的函数f'; 如果x点极限不存，则不可导 9. 作为极限比的导数， f'(x) = dy/dx 10. 线性函数的导数 11. 二阶导数或者更高阶导数 12. 导数何时不存在 13. 可导性和连续性 一个函数可导的必然是连续的 可导函数必连续，反过来不成立 4. 如何求解微分方程 1. 使用定义求导 2. 求导（好方法） 1. 函数的常数倍 2. 函数与函数差 3. 通过乘积法则求积函数的导数， 乘积法则 4. 通过商法则求解商函数的导数 5. 通过链式求导法则求复合函数的导数 6. 乘积法则和链式求导法则的理由 3. 求切线方程 4. 速度和加速度 5. 导数伪装的极限 6. 分段函数的导数 7. 直接画出导函数的图像 5. 三角函数的极限和导数 1. 涉及三角函数的极限 2. 涉及三角函数的导数 6. 隐函数求导和相关变化率 1. 隐函数求导 2. 相关变化率 7. 指数函数和对数函数 1. 指数函数回顾 2. 对数函数回顾 log1/2(y) = -log2(y) y=(1/2)x --> y=2(-x) 3. 对数函数、指数函数、反函数 4. 对数法则 5. e的定义 1. 金融--复利 3. 底数为e对数成为自然对数 6. 对数和指数函数求导 7. 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限 1. 涉及e的定义极限， 构造e的表达式 2. 指数函数在0附近的行为， 哑变量出现在分子上时，考虑伪装导数 3. 对数函数在1附近的行为 4. 指数函数在正无穷和负无穷附近的行为 8. 对数函数求导 9. 指数的增长和衰退 10. 双曲线函数 8. 反函数和反三角函数 1. 导数和反函数 1. 使用导数证明反函数存在 2. 导数和反函数可能出现的问题 3. 求反函数的导数 2. 反三角函数 1. 反正弦函数 2. 反余弦函数 3. 反正切函数 4. 反余割函数和反余切函数 5. 计算反三角函数 6. 9. 导数和图像 1. 函数的极值问题 1. 全局极值和局部极值 2. 极值定理 3. 怎样求全局最大值和全局最小值 2. 罗尔定理 3. 中值定理 4. 二次函数的导数 5. 对于导数为零点的分类 1. 一次导数的应用 2. 二阶导数的应用 10. 如何绘制函数图像 1. 怎样建立符号表格 2. 绘制函数图像的完全方法 11. 最优化和线性化 1. 最优化问题 1. 最优化问题通常的方法 2. 一个最优化的例子 3. 最优化问题使用隐函数求导 2. 线性化 1. 线性化的归纳 2. 微分 3. 线性化的总结和例子 4. 我们估算过程中误差 3. 牛顿方法 12. 洛必达法则及极限问题综述 1. 洛必达法则 2. 极限问题总结 13. 积分 1. 求和符号 1. 一个有用的求和 2. 伸缩求和 2. 位移和面积 1. 三个简单的栗子 2. 一段常规的旅行 3. 有正负的面积 4. 连续的速度 5. 两个特别的估算： 向上求和、向下求和 14. 定积分 1. 基本思想 2. 积分的定义 3. 定积分的特性 4. 求面积 1. 求费代数和的面积 2. 求曲线与y轴围成的面积 5. 估算积分 6. 积分的平均值和中值定理 1. 积分的中值定理 7. 不可积的函数 1. 有理数: 可以被写成p/q形式，p、q都是整数且没有公约数 15. 微积分基本定理 1. 以及其函数为积分函数 2. 微积分第一基本定理 3. 反导数的引入---求积分 4. 微积分第二基本定理 5. 不定积分 1. 6. 怎么解决问题：微积分第一基本定理 7. 怎么解决问题：微积分第二基本定理 1. 计算定积分 2. 计算不定积分 3. 非代数和面积平均值 8. 技术上的观点 9. 微积分第一基本定理的证明 16. 积分的方法：第一部分 1. 替代法 1. 换元法和定积分 2. 怎样决定替代公式 3. 换元法的理论解释 2. 分部积分法 1. 3. 部分分式 1. 方法和一个完整的栗子 17. 积分的方法：第二部分 1. 应用三角函数公式的积分 2. 关于三角函数的幂积分 3. 关于三角换元法的积分 4. 积分技巧综述 18. 反常积分的基本概念 1. 收敛和发散 1. 关于反常积分栗子 2. 关于无穷区间的积分 3. 比较判别法 4. 极限比较判别法 5. P判别法 6. 绝对收敛判别法 19. 反常积分如何解题 1. 如何开始的 2. 积分判别法总结 3. 正无穷和负无穷附近的常见函数 1. 多项式函数 2. 三角函数 3. 指数 4. 对数 4. 常见函数在0附近的情形 5. 如何应对不在0和无穷附近的函数 20. 数列和级数的基本概念 1. 数列的收敛和发散 1. 数列和函数的联系 2. 两个重要的数列 2. 级数与收敛和发散 1. 几何级数理论 3. 第n项判别法 4. 无穷级数和反常积分的性质 1. 比较判别法 2. 极限比较判别法 3. P判别法 4. 绝对收敛判别法 5. 级数的新判别法 1. 比式判别法 2. 根式判别法 3. 积分判别法 4. 交错级数判别法 21. 如何求解级数问题 1. 如何求几何级数的值 2. 如何应用第n项判别法 3. 如何应用比式判别法 4. 如何应用根式判别法 5. 如何应用积分判别法 6. 如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 7. 如何应对含负项的级数 22. 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 1. 近似值和泰勒多项式 1. 重访新型化 2. 二次近似 3. 高阶近似 4. 泰勒定理 2. 幂级数和泰勒级数 1. 一般幂级数 2. 泰勒级数和麦克劳林级数 3. 泰勒级数的收敛性 23. 如何求解估算问题 1. 泰勒多项式与泰勒级数总结 2. 求泰勒多项式和泰勒级数 3. 用误差项估算问题 4. 误差估算的另一种方法 24. 泰勒级数和幂级数：如何解题 25. 参数方程和极坐标 1. 参数方程 2. 极坐标 1. 极坐标和笛卡尔坐标互换 2. 极坐标系中画曲线 3. 求极坐标曲线的切线 4. 求极坐标曲线围城的面积 26. 复数 1. 基础 2. 复平面 27. 体积、弧长、表面积 1. 旋转体的体积 2. 一般固体体积 3. 弧长 4. 旋转体的表面积 28. 微分方程 1. 微分方程导论 2. 可分离变量的一阶微分方程 3. 一阶线性方程 4. 常系数微分方程 域内所有的x都成。关于y轴对称 2. 奇函数：f(-x) = -f(x) 定义域内所有的x都成。关于x180度对称 3. 函数可能是奇函数、偶函数、非奇非偶 5. 线性函数的图像 1. 点斜式 6. 常见函数及其图像 2. 三角学回顾 * 基本知识 * 三角函数的 定义域和扩展 1. 象限 参考角 ASTC方法 2. 大于2π的角 * 三角函数图像 * 恒等式 毕达哥拉斯定理（勾股定理）..... 1. 极限导论 1. 极限基本思想 1. x趋于2， f(x)的极限等于1， 表达大怎么写（lim） 2. 左极限和右极限 1. 减号 左极限 加好 右极限， 未标明就是双侧极限 3. 何时不存在极限 1. 垂直渐近线定义 2. lim sin(1/x) 3. x趋于无穷大，有一条水平渐近线 4. sin（x） -1 和1之间震荡，没有渐近线， x2(平方) 没有渐进线，x趋于无穷大，y也是无穷大 4. 大数和小数 5. 关于两个渐近线的错误认识 1. 一个函数不要求左右两边有相同的渐近线， 最多有两条水平渐渐线， 可以多条垂直渐近线， 垂直检验 2. 错误认识，一个函数不可能和他的渐近线相交 6. 三明治定理（夹逼定理） 7. 2. 如何求解涉及多项式的极限问题 1. x趋于a时有理函数极限 1. 两个多项式之比称作有理函数 2. 立方差公式： a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) 2. x趋于a时涉及平方根的极限 1. 共轭表达式 3. x趋于无穷大时有理函数极限 1. 多项式首相 4. x趋于无穷大时多项式项型（不是多项式）函数的极限 5. x趋于负无穷大时多项式项型（不是多项式）函数的极限 1. 注意x4次方这种 6. 包含绝对值的极限 3. 连续性和可导性 1. 连续性 1. 在一点处连续： lim(x-a) f(x) = f(a)， 就是上面的极限问题 2. 在一个区间上连续 3. 连续函数的例子， 每一个多项式都是连续的 4. 连续性也会证明求解极限问题的方法是ok的，x-1 可以把1带入函数，尽管代入后分母是0，与x=1处的点没有关系，仅仅与x=1附近的点有关系 5. 介值定理，证明多项式有几个解 6. 连续函数的最大值和最小值问题， 最大-最小值定理 2. 可导性 1. 函数的平滑度， 微积分最初来源于计算运动体的速度 2. 平均速率， 在引导极限 3. 位移与速度， 距离和位移区别， 速度和速率的区别 4. 瞬时速度 5. 速度的图像解释 6. 切线 7. 导函数， 怎么求导数。 8. 通过（x, f(x)）点切线的斜率是x的一个函数，这个函数称作f的导数，写作f’， 称作f关于变量x求导得到的函数f'; 如果x点极限不存，则不可导 9. 作为极限比的导数， f'(x) = dy/dx 10. 线性函数的导数 11. 二阶导数或者更高阶导数 12. 导数何时不存在 13. 可导性和连续性 一个函数可导的必然是连续的 可导函数必连续，反过来不成立 4. 如何求解微分方程 1. 使用定义求导 2. 求导（好方法） 1. 函数的常数倍 2. 函数与函数差 3. 通过乘积法则求积函数的导数， 乘积法则 4. 通过商法则求解商函数的导数 5. 通过链式求导法则求复合函数的导数 6. 乘积法则和链式求导法则的理由 3. 求切线方程 4. 速度和加速度 5. 导数伪装的极限 6. 分段函数的导数 7. 直接画出导函数的图像 5. 三角函数的极限和导数 1. 涉及三角函数的极限 2. 涉及三角函数的导数 6. 隐函数求导和相关变化率 1. 隐函数求导 2. 相关变化率 7. 指数函数和对数函数 1. 指数函数回顾 2. 对数函数回顾 log1/2(y) = -log2(y) y=(1/2)x --> y=2(-x) 3. 对数函数、指数函数、反函数 4. 对数法则 5. e的定义 1. 金融--复利 3. 底数为e对数成为自然对数 6. 对数和指数函数求导 7. 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限 1. 涉及e的定义极限， 构造e的表达式 2. 指数函数在0附近的行为， 哑变量出现在分子上时，考虑伪装导数 3. 对数函数在1附近的行为 4. 指数函数在正无穷和负无穷附近的行为 8. 对数函数求导 9. 指数的增长和衰退 10. 双曲线函数 8. 反函数和反三角函数 1. 导数和反函数 1. 使用导数证明反函数存在 2. 导数和反函数可能出现的问题 3. 求反函数的导数 2. 反三角函数 1. 反正弦函数 2. 反余弦函数 3. 反正切函数 4. 反余割函数和反余切函数 5. 计算反三角函数 6. 9. 导数和图像 1. 函数的极值问题 1. 全局极值和局部极值 2. 极值定理 3. 怎样求全局最大值和全局最小值 2. 罗尔定理 3. 中值定理 4. 二次函数的导数 5. 对于导数为零点的分类 1. 一次导数的应用 2. 二阶导数的应用 10. 如何绘制函数图像 1. 怎样建立符号表格 2. 绘制函数图像的完全方法 11. 最优化和线性化 1. 最优化问题 1. 最优化问题通常的方法 2. 一个最优化的例子 3. 最优化问题使用隐函数求导 2. 线性化 1. 线性化的归纳 2. 微分 3. 线性化的总结和例子 4. 我们估算过程中误差 3. 牛顿方法 12. 洛必达法则及极限问题综述 1. 洛必达法则 2. 极限问题总结 13. 积分 1. 求和符号 1. 一个有用的求和 2. 伸缩求和 2. 位移和面积 1. 三个简单的栗子 2. 一段常规的旅行 3. 有正负的面积 4. 连续的速度 5. 两个特别的估算： 向上求和、向下求和 14. 定积分 1. 基本思想 2. 积分的定义 3. 定积分的特性 4. 求面积 1. 求费代数和的面积 2. 求曲线与y轴围成的面积 5. 估算积分 6. 积分的平均值和中值定理 1. 积分的中值定理 7. 不可积的函数 1. 有理数: 可以被写成p/q形式，p、q都是整数且没有公约数 15. 微积分基本定理 1. 以及其函数为积分函数 2. 微积分第一基本定理 3. 反导数的引入---求积分 4. 微积分第二基本定理 5. 不定积分 1. 6. 怎么解决问题：微积分第一基本定理 7. 怎么解决问题：微积分第二基本定理 1. 计算定积分 2. 计算不定积分 3. 非代数和面积平均值 8. 技术上的观点 9. 微积分第一基本定理的证明 16. 积分的方法：第一部分 1. 替代法 1. 换元法和定积分 2. 怎样决定替代公式 3. 换元法的理论解释 2. 分部积分法 1. 3. 部分分式 1. 方法和一个完整的栗子 17. 积分的方法：第二部分 1. 应用三角函数公式的积分 2. 关于三角函数的幂积分 3. 关于三角换元法的积分 4. 积分技巧综述 18. 反常积分的基本概念 1. 收敛和发散 1. 关于反常积分栗子 2. 关于无穷区间的积分 3. 比较判别法 4. 极限比较判别法 5. P判别法 6. 绝对收敛判别法 19. 反常积分如何解题 1. 如何开始的 2. 积分判别法总结 3. 正无穷和负无穷附近的常见函数 1. 多项式函数 2. 三角函数 3. 指数 4. 对数 4. 常见函数在0附近的情形 5. 如何应对不在0和无穷附近的函数 20. 数列和级数的基本概念 1. 数列的收敛和发散 1. 数列和函数的联系 2. 两个重要的数列 2. 级数与收敛和发散 1. 几何级数理论 3. 第n项判别法 4. 无穷级数和反常积分的性质 1. 比较判别法 2. 极限比较判别法 3. P判别法 4. 绝对收敛判别法 5. 级数的新判别法 1. 比式判别法 2. 根式判别法 3. 积分判别法 4. 交错级数判别法 21. 如何求解级数问题 1. 如何求几何级数的值 2. 如何应用第n项判别法 3. 如何应用比式判别法 4. 如何应用根式判别法 5. 如何应用积分判别法 6. 如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 7. 如何应对含负项的级数 22. 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 1. 近似值和泰勒多项式 1. 重访新型化 2. 二次近似 3. 高阶近似 4. 泰勒定理 2. 幂级数和泰勒级数 1. 一般幂级数 2. 泰勒级数和麦克劳林级数 3. 泰勒级数的收敛性 23. 如何求解估算问题 1. 泰勒多项式与泰勒级数总结 2. 求泰勒多项式和泰勒级数 3. 用误差项估算问题 4. 误差估算的另一种方法 24. 泰勒级数和幂级数：如何解题 25. 参数方程和极坐标 1. 参数方程 2. 极坐标 1. 极坐标和笛卡尔坐标互换 2. 极坐标系中画曲线 3. 求极坐标曲线的切线 4. 求极坐标曲线围城的面积 26. 复数 1. 基础 2. 复平面 27. 体积、弧长、表面积 1. 旋转体的体积 2. 一般固体体积 3. 弧长 4. 旋转体的表面积 28. 微分方程 1. 微分方程导论 2. 可分离变量的一阶微分方程 3. 一阶线性方程 4. 常系数微分方程